Calcule a integral
I=integral0^infty d xraize^3 x-1
Resposta: (1) I=-pi / 3, (2) I=pi / 6, (3) I=-pi / 6, (4) I=pi / 3.

Passo 1

A integral é imprópria de 0 a ∞ e envolve √(e^{3x}−1), então vamos usar substituições para transformá-la num integral conhecido de arctan. Vamos precisar de mudança de variável e da primitiva de 1/(1+u²).

Passo 2

Fazendo t = e^{3x} temos dt = 3e^{3x}dx, ou seja dx = dt/(3t). Quando x varia de 0 a ∞, t varia de 1 a ∞. Substituindo em I:
$$
I = \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{e^{3x}-1}} = \frac{1}{3}\int_{1}^{\infty} \frac{dt}{t\sqrt{t-1}}.$$

Passo 3

Para simplificar a raiz, faça u² = t−1, então t = u²+1 e dt = 2u du. Quando t vai de 1 a ∞, u vai de 0 a ∞. Substituindo:
$$
I = \frac{1}{3}\int_{0}^{\infty} \frac{2u,du}{(u^{2}+1),u} = \frac{2}{3}\int_{0}^{\infty} \frac{du}{u^{2}+1}.$$

Passo 4

Agora reconhecemos a integral padrão de arctan. Sabendo que integral0^infty du/(1+u^2) = pi/2, temos
I = 23cdot pi2 = pi3

Resposta

I = \frac{\pi}{3} (opção 4)

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