Calcule a integral
Resposta: (1)
, (2)
, (3)
, (4)
.
Passo 1
A integral é imprópria de 0 a ∞ e envolve √(e^{3x}−1), então vamos usar substituições para transformá-la num integral conhecido de arctan. Vamos precisar de mudança de variável e da primitiva de 1/(1+u²).
Passo 2
Fazendo t = e^{3x} temos dt = 3e^{3x}dx, ou seja dx = dt/(3t). Quando x varia de 0 a ∞, t varia de 1 a ∞. Substituindo em I:
$$
I = \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{e^{3x}-1}} = \frac{1}{3}\int_{1}^{\infty} \frac{dt}{t\sqrt{t-1}}.$$
Passo 3
Para simplificar a raiz, faça u² = t−1, então t = u²+1 e dt = 2u du. Quando t vai de 1 a ∞, u vai de 0 a ∞. Substituindo:
$$
I = \frac{1}{3}\int_{0}^{\infty} \frac{2u,du}{(u^{2}+1),u} = \frac{2}{3}\int_{0}^{\infty} \frac{du}{u^{2}+1}.$$
Passo 4
Agora reconhecemos a integral padrão de arctan. Sabendo que
, temos
Resposta
I = \frac{\pi}{3} (opção 4)