Calcule a integral
I=integral0^infty e^-2 x sin x d x
Resposta: (1) I=2 / 5, (2) I=-2 / 5, (3) I=-1 / 5, (4) I=1 / 5.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
I=∫₀^∞ e^(−2x) sin x dx
O conteúdo envolve integrais impróprias e a fórmula da transformada de Laplace (ou tabela de integrais) para senos multiplicados por exponenciais decrescentes.

Passo 2

Usamos a fórmula bem conhecida
integral0^infty e^-a xsin(b x),dx = ba^2 + b^2
que converge sempre que a>0. Aqui a=2 garante que e^(−2x) decai rapidamente, então a integral converge.

Passo 3

Basta agora substituir a=2 e b=1 na fórmula:
I = 12^2 + 1^2 = 14 + 1 = 15

Resposta

I = 1/5

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