Estude a convergência da série abaixo.
sumn=1^infty(-1)^n cos (n pi)n^3

Passo 1

O enunciado pede pra estudar a convergência da série sumn=1^infty(-1)^n cos(npi)n^3. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, e vamos precisar usar a identidade trigonométrica para simplificar o termo geral e depois reconhecer uma p-série.

Passo 2

Aplique a identidade cos(npi)=(-1)^n. Isso é resultado de observar que cos(pi)= -1 e, a cada múltiplo inteiro de pi, o cosseno alterna entre 1 e -1.
Substituindo em (-1)^ncos(npi)n^3, temos:
(-1)^n(-1)^nn^3=(-1)^2nn^3=1n^3

Passo 3

Agora a série fica sumn=1^infty1n^3, que é uma p-série com p=3.
Lembrando que uma p-série sum 1/n^p converge se e somente se p>1, concluímos que nossa série converge.
Como o termo geral depois da simplificação é positivo e a p-série converge, a série original converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente, pois se reduz a uma p-série com p=3>1.

Exercícios relacionados