Estude a convergência da série abaixo.
Passo 1
O enunciado pede pra estudar a convergência da série
. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, e vamos precisar usar a identidade trigonométrica para simplificar o termo geral e depois reconhecer uma p-série.
Passo 2
Aplique a identidade
. Isso é resultado de observar que
e, a cada múltiplo inteiro de
, o cosseno alterna entre 1 e -1.
Substituindo em , temos:
Substituindo em
Passo 3
Agora a série fica
, que é uma p-série com
.
Lembrando que uma p-série converge se e somente se
, concluímos que nossa série converge.
Como o termo geral depois da simplificação é positivo e a p-série converge, a série original converge absolutamente.
Lembrando que uma p-série
Como o termo geral depois da simplificação é positivo e a p-série converge, a série original converge absolutamente.
Resposta
A série é absolutamente convergente, pois se reduz a uma p-série com
.