Mostre que f(x, y)=x e^y y é diferenciável em (1,0) e encontre sua linearização

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a função é diferenciável no ponto e encontrar sua linearização. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e a definição de diferenciabilidade. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e e verificar se a função pode ser aproximada por uma reta nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de fx(x, y) = partialpartial x ( x e^y y ) = e^y y em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
Isso porque é tratado como uma constante em relação a .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de fy(x, y) = partialpartial y ( x e^y y ) em relação a ddy ( e^y y ) = e^y y cdot ddy (y y) = e^y y cdot (2y) :
fy(x, y) = x cdot 2y e^y y = 2xy e^y y
Aqui, aplicamos a regra da cadeia. Vamos derivar em relação a :
Portanto,

Passo 4

Vamos avaliar as derivadas parciais no ponto fx(1, 0) = e^0 cdot 0 = e^0 = 1 :
Para fy(1, 0) = 2 cdot 1 cdot 0 cdot e^0 cdot 0 = 0 :
Para :

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas e avaliadas no ponto, podemos verificar a diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se suas derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto. Como e existem e são contínuas em , concluímos que é diferenciável nesse ponto.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a linearização de L(x, y) = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b) em L(x, y) = 1 + 1 cdot (x - 1) + 0 cdot (y - 0) = 1 + (x - 1) = x . A linearização é dada por:
Onde . Vamos calcular cada termo:
Substituindo na fórmula:

Resposta

A função é diferenciável no ponto e sua linearização nesse ponto é .

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