Mostre que
é diferenciável em
e encontre sua linearização
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a função
é diferenciável no ponto
e encontrar sua linearização. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e a definição de diferenciabilidade. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e verificar se a função pode ser aproximada por uma reta nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
Isso porque
é tratado como uma constante em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, aplicamos a regra da cadeia. Vamos derivar
em relação a
:
Portanto,
Passo 4
Vamos avaliar as derivadas parciais no ponto
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas e avaliadas no ponto, podemos verificar a diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se suas derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto. Como
e
existem e são contínuas em
, concluímos que
é diferenciável nesse ponto.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a linearização de
em
. A linearização
é dada por:
Onde
. Vamos calcular cada termo:
Substituindo na fórmula:
Resposta
A função
é diferenciável no ponto
e sua linearização nesse ponto é
.