Seja A a area limitada pelas curvas: y=x^2 e x+y=2. Achar o valor de l=12 A.
Resposta: (1) l=36, (2) l=48, (3) l=54, (4) l=66.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y = x^2 e x + y = 2, e em seguida o valor de l = 12A. O conteúdo aqui é cálculo de área plana por integração definida, então vamos precisar: achar os pontos de interseção, determinar qual curva está acima, montar a integral da diferença e calcular.

Passo 2

Para encontrar os pontos em que as curvas se cruzam, igualamos x^2 = 2 - x, obtendo
x^2 + x - 2 = 0
Resolvendo a equação quadrática por fórmula de Bhaskara, temos
x = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32
Logo, x = 1 ou x = -2. Esses serão os limites de integração. Entre -2 e 1, a reta y = 2 - x está acima da parábola y = x^2.

Passo 3

Agora montamos a integral da diferença entre as funções (reta menos parábola):
A = integral-2^1 l[(2 - x) - x^2r] ,dx
Vamos calcular essa integral. Um antiderivado de 2 - x - x^2 é
F(x) = 2x - x^22 - x^33
Avaliando de -2 a 1:
A = F(1) - F(-2) = l(2 - tfrac12 - tfrac13r) - l(-4 - 2 + tfrac83r) = 92

Passo 4

Finalmente, basta multiplicar por 12:
l = 12A = 12 times 92 = 54

Resposta

l = 54

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