Calcule a integral \iiint_{E}\left(x y+z^{2}\right) d V, onde
E=\{(x, y, z) \mid 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 1,0 \leq z \leq 3\}
utilizando três ordens diferentes de integração.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{E}\left(x y+z^{2}\right)\,dV
sobre o paralelepípedo
E=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le 2,\;0\le y\le 1,\;0\le z\le 3\}.
Informações dadas:
  • A região E é um produto de intervalos: x varia em [0,2], y em [0,1] e z em [0,3].
  • A função integranda é x y+z^{2}.
    O enunciado exige que a integral seja calculada usando três ordens diferentes de integração (ou seja, três maneiras distintas de escrever a integral iterada).

Passo 2

Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicados de forma simples):
  • Quando a região de integração é um produto de intervalos (um paralelepípedo), a integral tripla pode ser calculada por integrais iteradas em qualquer ordem. Isso significa que podemos integrar primeiro em uma variável, depois em outra, depois na terceira; as outras variáveis ficam tratadas como constantes no processo.
  • A integral é linear: \iiint_E (x y+z^2)\,dV = \iiint_E x y\,dV + \iiint_E z^2\,dV. Podemos separar termos se for conveniente.
  • As primitivas elementares que usaremos: \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},\qquad \int y\,dy = \frac{y^{2}}{2},\qquad \int z^{2}\,dz = \frac{z^{3}}{3}.Nestas fórmulas, a variável de integração é a que aparece no diferencial; as demais variáveis (se houver) são tratadas como constantes.
Vou agora efetuar a conta em três ordens diferentes. Em cada ordem explico passo a passo.

Passo 3

Escrevendo a integral iterada com essa ordem:
\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{1}\int_{z=0}^{3}\bigl(x y+z^{2}\bigr)\,dz\,dy\,dx.
  1. Integral interna em z: ao integrar em z tratamos x e y como constantes.
\int_{0}^{3}\bigl(x y+z^{2}\bigr)\,dz = \int_{0}^{3}x y\,dz + \int_{0}^{3}z^{2}\,dz.
\int_{0}^{3}x y\,dz = x y\,[z]_{0}^{3} = x y\cdot 3 = 3 x y.
\int_{0}^{3}z^{2}\,dz = \left[\frac{z^{3}}{3}\right]_{0}^{3} = \frac{27}{3}=9.
Portanto a integral interna vale
3 x y + 9.
  1. Integral do meio em y:
\int_{0}^{1}\bigl(3 x y+9\bigr)\,dy = 3 x\int_{0}^{1}y\,dy + 9\int_{0}^{1}1\,dy.
3 x\int_{0}^{1}y\,dy = 3 x\cdot\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = 3 x\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2}x.
9\int_{0}^{1}1\,dy = 9\cdot [y]_{0}^{1} = 9.
Logo a integral após integrar em y é
\frac{3}{2}x + 9.
  1. Integral externa em x:
\int_{0}^{2}\left(\frac{3}{2}x+9\right)\,dx = \frac{3}{2}\int_{0}^{2}x\,dx + 9\int_{0}^{2}1\,dx.
\frac{3}{2}\int_{0}^{2}x\,dx = \frac{3}{2}\cdot\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = \frac{3}{2}\cdot\frac{4}{2} = \frac{3}{2}\cdot 2 = 3.
9\int_{0}^{2}1\,dx = 9\cdot [x]_{0}^{2} = 9\cdot 2 = 18.
Somando:
3 + 18 = 21.
Portanto, nessa ordem o valor da integral é 21.

Passo 4

Escrevemos a integral:
\int_{z=0}^{3}\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{2}\bigl(x y+z^{2}\bigr)\,dx\,dy\,dz.
  1. Integral interna em x (quando integramos em x, y e z são constantes):
\int_{0}^{2}\bigl(x y+z^{2}\bigr)\,dx = \int_{0}^{2}x y\,dx + \int_{0}^{2}z^{2}\,dx.
\int_{0}^{2}x y\,dx = y\cdot\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = y\cdot\frac{4}{2} = 2y.
\int_{0}^{2}z^{2}\,dx = z^{2}\cdot[x]_{0}^{2} = z^{2}\cdot 2 = 2 z^{2}.
Então a integral interna vale
2y + 2 z^{2}.
  1. Integral do meio em y:
\int_{0}^{1}\bigl(2y+2 z^{2}\bigr)\,dy = 2\int_{0}^{1}y\,dy + 2 z^{2}\int_{0}^{1}1\,dy.
2\int_{0}^{1}y\,dy = 2\cdot\frac{1}{2} = 1.
2 z^{2}\int_{0}^{1}1\,dy = 2 z^{2}\cdot 1 = 2 z^{2}.
Logo o resultado após integrar em y é
1 + 2 z^{2}.
  1. Integral externa em z:
\int_{0}^{3}\bigl(1+2 z^{2}\bigr)\,dz = \int_{0}^{3}1\,dz + 2\int_{0}^{3}z^{2}\,dz.
\int_{0}^{3}1\,dz = [z]_{0}^{3} = 3.
2\int_{0}^{3}z^{2}\,dz = 2\cdot\left[\frac{z^{3}}{3}\right]_{0}^{3} = 2\cdot\frac{27}{3} = 2\cdot 9 = 18.
Somando:
3 + 18 = 21.
Novamente obtemos 21.

Passo 5

Escrevemos a integral:
\int_{x=0}^{2}\int_{z=0}^{3}\int_{y=0}^{1}\bigl(x y+z^{2}\bigr)\,dy\,dz\,dx.
  1. Integral interna em y (tratando x e z como constantes):
\int_{0}^{1}\bigl(x y+z^{2}\bigr)\,dy = x\int_{0}^{1}y\,dy + z^{2}\int_{0}^{1}1\,dy.
x\int_{0}^{1}y\,dy = x\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{2}x.
z^{2}\int_{0}^{1}1\,dy = z^{2}\cdot 1 = z^{2}.
Então a integral interna vale
\frac{1}{2}x + z^{2}.
  1. Integral do meio em z:
\int_{0}^{3}\left(\frac{1}{2}x + z^{2}\right)\,dz = \frac{1}{2}x\int_{0}^{3}1\,dz + \int_{0}^{3}z^{2}\,dz.
\frac{1}{2}x\int_{0}^{3}1\,dz = \frac{1}{2}x\cdot 3 = \frac{3}{2}x.
\int_{0}^{3}z^{2}\,dz = 9\quad(\text{como já calculado}).á
Portanto o resultado após integrar em z é
\frac{3}{2}x + 9.
  1. Integral externa em x:
\int_{0}^{2}\left(\frac{3}{2}x+9\right)\,dx,
que já calculamos no Passo 3 e dá 3+18=21.

Passo 6

Comentário final rápido e incentivo:
  • Em todas as três ordens de integração o processo consistiu em tratar as variáveis não relativas ao diferencial como constantes e aplicar primitivas polinomiais simples.
  • O valor final é o mesmo em todas as ordens, como esperado para uma região de produto bem comportada.
  • Se você ficou tenso no começo: calma! A técnica é sempre a mesma — integrar em uma variável por vez, lembrar as primitivas e avaliar nos limites. A prática deixa isso automático. Força que você já está no caminho certo!

Resposta

\;21

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