Calcule a integral
, onde
utilizando três ordens diferentes de integração.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
sobre o paralelepípedo
Informações dadas:
- A região
é um produto de intervalos: varia em , em e em . - A função integranda é
.
O enunciado exige que a integral seja calculada usando três ordens diferentes de integração (ou seja, três maneiras distintas de escrever a integral iterada).
Passo 2
Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicados de forma simples):
- Quando a região de integração é um produto de intervalos (um paralelepípedo), a integral tripla pode ser calculada por integrais iteradas em qualquer ordem. Isso significa que podemos integrar primeiro em uma variável, depois em outra, depois na terceira; as outras variáveis ficam tratadas como constantes no processo.
- A integral é linear:
. Podemos separar termos se for conveniente. - As primitivas elementares que usaremos:
Nestas fórmulas, a variável de integração é a que aparece no diferencial; as demais variáveis (se houver) são tratadas como constantes.
Vou agora efetuar a conta em três ordens diferentes. Em cada ordem explico passo a passo.
Passo 3
Escrevendo a integral iterada com essa ordem:
- Integral interna em
: ao integrar em tratamos e como constantes.
Portanto a integral interna vale
- Integral do meio em
:
Logo a integral após integrar em
é
- Integral externa em
:
Somando:
Portanto, nessa ordem o valor da integral é
.
Passo 4
Escrevemos a integral:
- Integral interna em
(quando integramos em , e são constantes):
Então a integral interna vale
- Integral do meio em
:
Logo o resultado após integrar em
é
- Integral externa em
:
Somando:
Novamente obtemos
.
Passo 5
Escrevemos a integral:
- Integral interna em
(tratando e como constantes):
Então a integral interna vale
- Integral do meio em
:
Portanto o resultado após integrar em
é
- Integral externa em
:
que já calculamos no Passo 3 e dá
.
Passo 6
Comentário final rápido e incentivo:
- Em todas as três ordens de integração o processo consistiu em tratar as variáveis não relativas ao diferencial como constantes e aplicar primitivas polinomiais simples.
- O valor final é o mesmo em todas as ordens, como esperado para uma região de produto bem comportada.
- Se você ficou tenso no começo: calma! A técnica é sempre a mesma — integrar em uma variável por vez, lembrar as primitivas e avaliar nos limites. A prática deixa isso automático. Força que você já está no caminho certo!