Calcule a integral iterada.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral iterada
Informações dadas:
- A ordem de integração é primeiro em
, depois em e por fim em . - Os limites são
, e . - A função integranda é
, que depende de e mas não de .
A tarefa é calcular o valor numérico desta integral.
Passo 2
Primeiro passo prático: integrar em relação a
. Observação importante (regra do atleta básico das integrais): se uma função não depende da variável de integração, ela é tratada como constante nessa integração. Aqui
não depende de
, logo
Explicando: a primitiva de
em
é
, então a primitiva de
em
é
.
Passo 3
Avaliaremos a expressão anterior nos limites
e
:
Portanto a integral tripla reduz-se à integral dupla
Passo 4
Agora vamos integrar em relação a
. Primeiro simplificar o integrando usando distributividade:
Fatorando
porque é constante em relação a
(regra do fator constante), fica mais claro para integrar.
Passo 5
Aplicar a regra potência para integrar polinômios em
. Lembrando que a primitiva de
é
.
Calculemos a primitiva de em
:
Calculemos a primitiva de
Multiplicando pelo fator
obtemos a primitiva do integrando total em
:
Passo 6
Agora avaliamos essa primitiva entre
e
. Primeiro substituímos
:
Somando os termos dentro do parêntese:
Multiplicando pelo
que estava fora:
Ao avaliar em
obtemos zero, então o resultado da integração em
é
.
Passo 7
Restou integrar em relação a
no intervalo
a
:
Usando a regra potência novamente, a primitiva de
é
. Portanto