Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{2 y} \int_{0}^{x+y} 6 x y d z d x d y

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{2y}\int_{0}^{x+y} 6xy \, dz\, dx\, dy.
Informações dadas:
  • A ordem de integração é primeiro em z, depois em x e por fim em y.
  • Os limites são 0\le z\le x+y, 0\le x\le 2y e 0\le y\le 1.
  • A função integranda é 6xy, que depende de x e y mas não de z.
    A tarefa é calcular o valor numérico desta integral.

Passo 2

Primeiro passo prático: integrar em relação a z. Observação importante (regra do atleta básico das integrais): se uma função não depende da variável de integração, ela é tratada como constante nessa integração. Aqui 6xy não depende de z, logo
\int_{0}^{x+y} 6xy \, dz = 6xy\cdot\bigl[(z)\bigr]_{0}^{x+y}.
Explicando: a primitiva de 1 em z é z, então a primitiva de 6xy em z é 6xy\cdot z.

Passo 3

Avaliaremos a expressão anterior nos limites z=0 e z=x+y:
6xy\cdot\bigl[(x+y)-0\bigr] = 6xy(x+y).
Portanto a integral tripla reduz-se à integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{2y} 6xy(x+y)\, dx\, dy.

Passo 4

Agora vamos integrar em relação a x. Primeiro simplificar o integrando usando distributividade:
6xy(x+y)=6y\bigl(x^2 + x y\bigr).
Fatorando y porque é constante em relação a x (regra do fator constante), fica mais claro para integrar.

Passo 5

Aplicar a regra potência para integrar polinômios em x. Lembrando que a primitiva de x^n é \dfrac{x^{n+1}}{n+1}.
Calculemos a primitiva de x^2 + x y em x:
\int\bigl(x^2 + x y\bigr)\, dx = \frac{x^3}{3} + y\cdot\frac{x^2}{2}.
Multiplicando pelo fator 6y obtemos a primitiva do integrando total em x:
6y\left(\frac{x^3}{3} + y\frac{x^2}{2}\right).

Passo 6

Agora avaliamos essa primitiva entre x=0 e x=2y. Primeiro substituímos x=2y:
\frac{(2y)^3}{3} = \frac{8y^3}{3},\qquad y\frac{(2y)^2}{2}=y\cdot\frac{4y^2}{2}=2y^3.
Somando os termos dentro do parêntese:
\frac{8y^3}{3}+2y^3=\left(\frac{8}{3}+2\right)y^3=\frac{14}{3}y^3.
Multiplicando pelo 6y que estava fora:
6y\cdot\frac{14}{3}y^3 = 6\cdot\frac{14}{3}y^4 = 2\cdot14\,y^4 = 28y^4.
Ao avaliar em x=0 obtemos zero, então o resultado da integração em x é 28y^4.

Passo 7

Restou integrar em relação a y no intervalo 0 a 1:
\int_{0}^{1} 28y^4\, dy.
Usando a regra potência novamente, a primitiva de y^4 é \dfrac{y^5}{5}. Portanto
\int_{0}^{1} 28y^4\, dy = 28\left[\frac{y^5}{5}\right]_{0}^{1} = 28\cdot\frac{1}{5} = \frac{28}{5}.

Resposta

\dfrac{28}{5}

Exercícios relacionados