Obter um expressão das somas das séries abaixos e os respectivos raios de convergência, usando a derivação e integração termo a termo, se necessário x+2 x^{3}+3 x^{5}+\ldots+n x^{2 n-1}+\ldots
Passo 1
O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{2n-1}=x+2x^{3}+3x^{5}+\ldots+n x^{2n-1}+\ldots
e pede duas coisas:
obter uma expressão fechada (uma função de x) cujo desenvolvimento em série gere esses termos;
determinar o raio de convergência dessa série.
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes são n e as potências são 2n-1 (apenas potências ímpares aparecem). Não há nenhuma outra restrição explícita sobre x.
Passo 2
Reescrevemos a série de forma que fique mais fácil de manipular. Note que
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{2n-1} = x^{-1}\sum_{n=1}^{\infty} n (x^{2})^{n}.
Aqui defini y=x^{2} para simplificar a notação. Assim a série fica
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{2n-1} = x^{-1}\sum_{n=1}^{\infty} n y^{n}.
Explicando por que isso ajuda: a soma \sum_{n=1}^{\infty} n y^{n} é uma série padrão que pode ser obtida a partir da série geométrica por diferenciação termo a termo.
Passo 3
Lembrando a série geométrica básica: para |y|<1 vale
\sum_{n=0}^{\infty} y^{n}=\frac{1}{1-y}.
Essa igualdade vale para |y|<1 e, dentro desse raio, podemos diferenciar a série termo a termo (justificativa curta: para |y|<1 a série converge uniformemente em qualquer intervalo fechado |y|\le r<1, logo a soma é diferenciável e a diferenciação termo a termo é permitida).
Diferenciando ambos os lados em relação a y obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} n y^{\,n-1}=\frac{1}{(1-y)^{2}},
pois a derivada de y^{n} é n y^{n-1} e a derivada de 1/(1-y) é 1/(1-y)^{2}.
Passo 4
Multiplicando a igualdade do passo anterior por y ficamos com a série que queremos em termos de y:
\sum_{n=1}^{\infty} n y^{n}=\frac{y}{(1-y)^{2}},\qquad |y|<1.
Agora voltamos à variável x com y=x^{2}. Substituindo e lembrando do fator x^{-1} do Passo 2:
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{2n-1}=x^{-1}\cdot\frac{x^{2}}{(1-x^{2})^{2}}=\frac{x}{(1-x^{2})^{2}}.
Portanto a expressão fechada candidata é \dfrac{x}{(1-x^{2})^{2}}, válida quando podemos aplicar a igualdade anterior, isto é, quando |x^{2}|<1.
Passo 5
Verificação rápida por série de potências (para ficar confortável): usa-se a identidade conhecida