Obter um expressão das somas das séries abaixos e os respectivos raios de convergência, usando a derivação e integração termo a termo, se necessário
x+2 x^{3}+3 x^{5}+\ldots+n x^{2 n-1}+\ldots

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{2n-1}=x+2x^{3}+3x^{5}+\ldots+n x^{2n-1}+\ldots
e pede duas coisas:
  • obter uma expressão fechada (uma função de x) cujo desenvolvimento em série gere esses termos;
  • determinar o raio de convergência dessa série.
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes são n e as potências são 2n-1 (apenas potências ímpares aparecem). Não há nenhuma outra restrição explícita sobre x.

Passo 2

Reescrevemos a série de forma que fique mais fácil de manipular. Note que
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{2n-1} = x^{-1}\sum_{n=1}^{\infty} n (x^{2})^{n}.
Aqui defini y=x^{2} para simplificar a notação. Assim a série fica
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{2n-1} = x^{-1}\sum_{n=1}^{\infty} n y^{n}.
Explicando por que isso ajuda: a soma \sum_{n=1}^{\infty} n y^{n} é uma série padrão que pode ser obtida a partir da série geométrica por diferenciação termo a termo.

Passo 3

Lembrando a série geométrica básica: para |y|<1 vale
\sum_{n=0}^{\infty} y^{n}=\frac{1}{1-y}.
Essa igualdade vale para |y|<1 e, dentro desse raio, podemos diferenciar a série termo a termo (justificativa curta: para |y|<1 a série converge uniformemente em qualquer intervalo fechado |y|\le r<1, logo a soma é diferenciável e a diferenciação termo a termo é permitida).
Diferenciando ambos os lados em relação a y obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} n y^{\,n-1}=\frac{1}{(1-y)^{2}},
pois a derivada de y^{n} é n y^{n-1} e a derivada de 1/(1-y) é 1/(1-y)^{2}.

Passo 4

Multiplicando a igualdade do passo anterior por y ficamos com a série que queremos em termos de y:
\sum_{n=1}^{\infty} n y^{n}=\frac{y}{(1-y)^{2}},\qquad |y|<1.
Agora voltamos à variável x com y=x^{2}. Substituindo e lembrando do fator x^{-1} do Passo 2:
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{2n-1}=x^{-1}\cdot\frac{x^{2}}{(1-x^{2})^{2}}=\frac{x}{(1-x^{2})^{2}}.
Portanto a expressão fechada candidata é \dfrac{x}{(1-x^{2})^{2}}, válida quando podemos aplicar a igualdade anterior, isto é, quando |x^{2}|<1.

Passo 5

Verificação rápida por série de potências (para ficar confortável): usa-se a identidade conhecida
\frac{1}{(1-u)^{2}}=\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)u^{k},\qquad |u|<1.
Tomando u=x^{2} e multiplicando por x obtemos
\frac{x}{(1-x^{2})^{2}}=x\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)x^{2k}=\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)x^{2k+1}.
Reindexando com n=k+1 dá exatamente
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{2n-1},
confirmando que a expressão fechada está correta (no intervalo de convergência).

Passo 6

Agora o raio de convergência. Use o teste da razão na forma direta sobre o termo geral a_{n}=n x^{2n-1}:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\frac{n+1}{n}\,|x|^{2}\xrightarrow[n\to\infty]{}|x|^{2}.
Pelo teste da razão, a série converge se esse limite for menor que 1, isto é se |x|^{2}<1, ou seja |x|<1. Portanto o raio de convergência é R=1.
Nos pontos extremos x=1 e x=-1 a série se torna \sum n ou -\sum n, que divergem; então o intervalo de convergência é (-1,1).

Passo 7

Resumo final (toma fôlego: você já passou por cada pedacinho). A soma fechada da série é
\frac{x}{(1-x^{2})^{2}}
e a igualdade é válida para |x|<1. O raio de convergência é R=1.

Resposta

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n x^{2n-1}=\frac{x}{(1-x^{2})^{2}}
\displaystyle \text{Raio de convergência: }|x|<1\\ \\ (R=1)ê

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