Obter um expressão das somas das séries abaixos e os respectivos raios de convergência, usando a derivação e integração termo a termo, se necessário x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\ldots+\frac{x^{2 n+1}}{2 n+13}+\ldots
ou seja, o termo geral é \dfrac{x^{2n+1}}{2n+1} com n=0,1,2,\dots (peguei esse padrão a partir dos primeiros termos apresentados). O que se pede:
obter uma expressão fechada para a soma da série como função de x;
determinar o raio de convergência da série.
Passo 2
Uma série muito útil para começar é a série geométrica. Para |t|<1 vale
\sum_{n=0}^{\infty} t^{2n}=\frac{1}{1-t^{2}}.
Explico rápido: é a série geométrica com razão t^{2}. Ela converge para \dfrac{1}{1-t^{2}} quando |t^{2}|<1, isto é, quando |t|<1.
Passo 3
Agora observe que a nossa série aparece se integrarmos termo a termo a série geométrica em relação a t de 0 até x. Vou escrever isso com calma:
Para |x|<1 podemos integrar ambos os lados (a integral à esquerda é a soma das integrais porque a série geométrica converge uniformemente em qualquer intervalo [-a,a] com 0<a<1; na prática, é um resultado padrão que dá permissão para integrar série de potências termo a termo dentro do raio de convergência). Assim,
No nosso caso os coeficientes não-nulos ocorrem nos expoentes ímpares: a_{2n+1}=\dfrac{1}{2n+1}. Calculando
\lim_{n\to\infty}\sqrt[2n+1]{\frac{1}{2n+1}}=1,
portanto \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}=1 e assim R=1. Em outras palavras, a série converge para |x|<1 e diverge em |x|>1.
Passo 8
Na borda |x|=1 a série diverge: para x=1 ela é \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{2n+1}, que diverge (série harmônica de termos ímpares); para x=-1 ela é \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^{2n+1}}{2n+1}=-\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{2n+1}, que também diverge. Assim o intervalo de convergência aberto é (-1,1).
Passo 9
Recapitulando de forma prática (como na prova): comece da série geométrica \sum t^{2n}=\dfrac{1}{1-t^{2}}, integre de 0 a x termo a termo para obter \sum \dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}, e calcule a integral para obter \dfrac{1}{2}\ln\!\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right). Raio de convergência: R=1.