Obter um expressão das somas das séries abaixos e os respectivos raios de convergência, usando a derivação e integração termo a termo, se necessário
x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\ldots+\frac{x^{2 n+1}}{2 n+13}+\ldots

Passo 1

O enunciado dá a série
x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\ldots+\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+\ldots
ou seja, o termo geral é \dfrac{x^{2n+1}}{2n+1} com n=0,1,2,\dots (peguei esse padrão a partir dos primeiros termos apresentados). O que se pede:
  • obter uma expressão fechada para a soma da série como função de x;
  • determinar o raio de convergência da série.

Passo 2

Uma série muito útil para começar é a série geométrica. Para |t|<1 vale
\sum_{n=0}^{\infty} t^{2n}=\frac{1}{1-t^{2}}.
Explico rápido: é a série geométrica com razão t^{2}. Ela converge para \dfrac{1}{1-t^{2}} quando |t^{2}|<1, isto é, quando |t|<1.

Passo 3

Agora observe que a nossa série aparece se integrarmos termo a termo a série geométrica em relação a t de 0 até x. Vou escrever isso com calma:
Para |x|<1 podemos integrar ambos os lados (a integral à esquerda é a soma das integrais porque a série geométrica converge uniformemente em qualquer intervalo [-a,a] com 0<a<1; na prática, é um resultado padrão que dá permissão para integrar série de potências termo a termo dentro do raio de convergência). Assim,
\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty} t^{2n}\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{x} t^{2n}\,dt.

Passo 4

Calculo as integrais do lado direito termo a termo:
\int_{0}^{x} t^{2n}\,dt=\left[\frac{t^{2n+1}}{2n+1}\right]_{0}^{x}=\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.
Portanto a soma dos integrandos dá precisamente a série que queremos:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.
No lado esquerdo, integramos a função fechada \dfrac{1}{1-t^{2}}:
\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t^{2}}\,dt.

Passo 5

Agora calcule a integral fechada. Use frações parciais:
\frac{1}{1-t^{2}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}\right).
Integrando de 0 a x,
\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t^{2}}\,dt=\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t}\,dt+\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t}\,dt.
As primitivas são logaritmos:
\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t}\,dt=-\ln(1-t)\Big|_{0}^{x}=-\ln(1-x)+\ln(1-0)=-\ln(1-x),
\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t}\,dt=\ln(1+t)\Big|_{0}^{x}=\ln(1+x)-\ln(1+0)=\ln(1+x).
Somando e multiplicando por 1/2,
\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t^{2}}\,dt=\frac{1}{2}\big(\ln(1+x)-\ln(1-x)\big)=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right).

Passo 6

Concluímos que, para |x|<1,
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right).
Observação: essa função também é conhecida como \operatorname{arctanh}(x), porque
\operatorname{arctanh}(x)=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\quad(|x|<1).

Passo 7

Falta indicar o raio de convergência. Para a série de potências \sum a_{n}x^{n} o raio R é dado por
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}}.
No nosso caso os coeficientes não-nulos ocorrem nos expoentes ímpares: a_{2n+1}=\dfrac{1}{2n+1}. Calculando
\lim_{n\to\infty}\sqrt[2n+1]{\frac{1}{2n+1}}=1,
portanto \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}=1 e assim R=1. Em outras palavras, a série converge para |x|<1 e diverge em |x|>1.

Passo 8

Na borda |x|=1 a série diverge: para x=1 ela é \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{2n+1}, que diverge (série harmônica de termos ímpares); para x=-1 ela é \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^{2n+1}}{2n+1}=-\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{2n+1}, que também diverge. Assim o intervalo de convergência aberto é (-1,1).

Passo 9

Recapitulando de forma prática (como na prova): comece da série geométrica \sum t^{2n}=\dfrac{1}{1-t^{2}}, integre de 0 a x termo a termo para obter \sum \dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}, e calcule a integral para obter \dfrac{1}{2}\ln\!\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right). Raio de convergência: R=1.

Resposta

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\quad\text{para }|x|<1
\text{Raio de convergência: }R=1ê

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