Calcule a integral
, onde
é a região limitada pelo paraboloide
, o cilindro
e o plano
.
Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral tripla
onde
é a região limitada pelo paraboloide
, pelo cilindro
e pelo plano
.
Informações dadas e observações básicas:
- A superfície lateral
é um cilindro de raio alinhado com o eixo . - O paraboloide
tem vértice em e, para cada , dá o valor de acima de . - O plano
está abaixo do vértice do paraboloide (nota: ). - Assim, a região
é o conjunto de pontos com no disco de raio e variando entre (plano) e (paraboloide). Em fórmulas:
Passo 2
Escolha do método: vamos usar coordenadas cilíndricas (polares no plano
) porque a região de projeção no plano
é um disco circular (
). Coordenadas polares simplificam muito limites e exploram simetrias radiais.
Lembrete rápido sobre coordenadas polares/cilíndricas:
- Substituições:
, , . - O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
. Aqui é o fator Jacobiano que aparece ao passar de para . - Domínio em
para o disco de raio : , . - Para
, em cada temos (usei ).
Passo 3
Montando a integral em coordenadas cilíndricas: primeiro substituímos
e
e o elemento de volume.
Em coordenadas cilíndricas temos
e
. Então a integral fica
Passo 4
Simplificando a integral por partes: multiplica-se os
s e integra em
primeiro (é a forma mais direta).
O integrando antes de integrar em
é
. Integrando em
de
a
apenas multiplica por essa altura:
Portanto a integral reduz-se a
Passo 5
Análise da parte angular (a chave): o integrando é produto de uma função só de
,
, por uma função só de
,
. Podemos separar as integrais:
Agora calcule a integral angular:
Portanto
Passo 6
Conclusão do cálculo: como a integral angular é zero, o produto das duas integrais é zero, independentemente do valor da integral radial. Em termos informais: a função
é ímpar em
e em
separadamente, e o disco
é simétrico em torno da origem, então as contribuições positivas e negativas se cancelam perfeitamente.
Portanto
Resposta
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