Calcule a integral \iiint_{E}(x+y) d V, onde E é a região limitada pelo paraboloide z=1+x^{2}+y^{2}, o cilindro x^{2}+y^{2}=4 e o plano z=0.

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral tripla
\iiint_{E} (x+y)\, dV,
onde E é a região limitada pelo paraboloide z=1+x^{2}+y^{2}, pelo cilindro x^{2}+y^{2}=4 e pelo plano z=0.
Informações dadas e observações básicas:
  • A superfície lateral x^{2}+y^{2}=4 é um cilindro de raio 2 alinhado com o eixo z.
  • O paraboloide z=1+x^{2}+y^{2} tem vértice em (0,0,1) e, para cada (x,y), dá o valor de z acima de 1.
  • O plano z=0 está abaixo do vértice do paraboloide (nota: 1+x^{2}+y^{2}\ge1>0).
  • Assim, a região E é o conjunto de pontos com (x,y) no disco de raio 2 e z variando entre 0 (plano) e 1+x^{2}+y^{2} (paraboloide). Em fórmulas:
E=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\le 4,\; 0\le z\le 1+x^{2}+y^{2}\}.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar coordenadas cilíndricas (polares no plano xy) porque a região de projeção no plano xy é um disco circular ( x^{2}+y^{2}\le4). Coordenadas polares simplificam muito limites e exploram simetrias radiais.
Lembrete rápido sobre coordenadas polares/cilíndricas:
  • Substituições: x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, z = z.
  • O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dV = r\, dz\, dr\, d\theta. Aqui r é o fator Jacobiano que aparece ao passar de (x,y) para (r,\theta).
  • Domínio em r,\theta para o disco de raio 2: 0\le r\le 2, 0\le\theta\le 2\pi.
  • Para z, em cada (r,\theta) temos 0\le z\le 1+r^{2} (usei x^{2}+y^{2}=r^{2}).

Passo 3

Montando a integral em coordenadas cilíndricas: primeiro substituímos x e y e o elemento de volume.
Em coordenadas cilíndricas temos x+y = r\cos\theta + r\sin\theta = r(\cos\theta+\sin\theta) e dV = r\, dz\, dr\, d\theta. Então a integral fica
\iiint_{E} (x+y)\, dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{0}^{1+r^{2}} \bigl(r(\cos\theta+\sin\theta)\bigr)\, r\, dz\, dr\, d\theta.

Passo 4

Simplificando a integral por partes: multiplica-se os rs e integra em z primeiro (é a forma mais direta).
O integrando antes de integrar em z é r^{2}(\cos\theta+\sin\theta). Integrando em z de 0 a 1+r^{2} apenas multiplica por essa altura:
\int_{0}^{1+r^{2}} r^{2}(\cos\theta+\sin\theta)\, dz = r^{2}(\cos\theta+\sin\theta)\cdot(1+r^{2}).
Portanto a integral reduz-se a
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r^{2}(\cos\theta+\sin\theta)(1+r^{2})\, dr\, d\theta.

Passo 5

Análise da parte angular (a chave): o integrando é produto de uma função só de \theta, (\cos\theta+\sin\theta), por uma função só de r, r^{2}(1+r^{2}). Podemos separar as integrais:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r^{2}(1+r^{2})(\cos\theta+\sin\theta)\, dr\, d\theta = \left(\int_{0}^{2} r^{2}(1+r^{2})\, dr\right)\left(\int_{0}^{2\pi} (\cos\theta+\sin\theta)\, d\theta\right).
Agora calcule a integral angular:
\int_{0}^{2\pi} \cos\theta\, d\theta = \bigl[\sin\theta\bigr]_{0}^{2\pi} = 0,
\int_{0}^{2\pi} \sin\theta\, d\theta = \bigl[-\cos\theta\bigr]_{0}^{2\pi} = -\cos(2\pi)+\cos(0)= -1+1=0.
Portanto
\int_{0}^{2\pi} (\cos\theta+\sin\theta)\, d\theta = 0+0 = 0.

Passo 6

Conclusão do cálculo: como a integral angular é zero, o produto das duas integrais é zero, independentemente do valor da integral radial. Em termos informais: a função x+y é ímpar em x e em y separadamente, e o disco x^{2}+y^{2}\le 4 é simétrico em torno da origem, então as contribuições positivas e negativas se cancelam perfeitamente.
Portanto
\iiint_{E} (x+y)\, dV = 0.

Resposta

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