Monte a integral que calcula a área da superfície do gráfico de
que está acima do quadrado
. Estime essa integral, aproximando o cosseno, o seno e a função
em primeira ordem.
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida por
e pede duas coisas: montar a integral que calcula a área dessa superfície que está sobre o quadrado
no plano
e, em seguida, estimar essa integral aproximando o cosseno, o seno e a função
em primeira ordem.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função de alturas é
. - O domínio de projeção é o quadrado
. - Precisamos montar a integral de área sobre
e depois aproximá‑la usando expansões em primeira ordem.
Passo 2
Fórmula da área de uma superfície dada por
sobre um domínio
:
Explicação didática: essa fórmula vem da aproximação local da superfície por um plano tangente. As derivadas parciais
e
medem as inclinações nas direções
e
; quanto maiores, maior a contribuição para a área além da projeção plana.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Usamos a regra da cadeia: se
então
; se
então
. Tomando
e derivando em relação a
e
:
Note que o termo constante
desaparece nas derivadas.]
Passo 4
Montamos a integral de área substituindo
e
na fórmula da área:
Substituindo explicitamente:
Esta é a integral exata que pede o enunciado (montagem da integral).
Passo 5
Agora vamos estimar a integral usando aproximações em primeira ordem. Primeiro, as expansões em torno de
(série de Taylor de baixa ordem):
Aqui tomamos
. Então, em primeira ordem,
Explicação: para
mantemos o termo linear
; para
o desenvolvimento até primeira ordem é simplesmente o termo constante
(não há termo linear).
Passo 6
Definimos
dentro da raiz para aplicar a linearização de
:
Usando a aproximação do passo anterior:
Agora aplicamos a aproximação em primeira ordem de
(linearização em
, válida se
for pequeno):
Portanto a integrando se aproxima por
.
Passo 7
Substituímos e obtemos a aproximação da área:
Separamos em duas partes:
A primeira integral é a área do quadrado:
Agora calculamos a segunda integral passo a passo. Expanda o integrando:
Integramos termo a termo sobre
. Usamos
.
Cálculos:
Somando todos:
Calculemos em frações com denominador comum
:
Somando:
Passo 8
Voltando à expressão da área aproximada:
Em forma decimal (usando vírgula conforme pedido):
.
Interpretação final: usando as aproximações em primeira ordem pedidas, a área estimada da superfície sobre o quadrado
é
. Dá para respirar aliviado: não explode para valores grandes — ficou um número bem razoável.