Monte a integral que calcula a área da superfície do gráfico de z=3+\cos (x y)+\operatorname{sen}(x y) que está acima do quadrado [0,1] \times[0,1] \times\{0\}. Estime essa integral, aproximando o cosseno, o seno e a função \sqrt{1+t} em primeira ordem.

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida por z=3+\cos(xy)+\operatorname{sen}(xy) e pede duas coisas: montar a integral que calcula a área dessa superfície que está sobre o quadrado [0,1]\times[0,1] no plano z=0 e, em seguida, estimar essa integral aproximando o cosseno, o seno e a função \sqrt{1+t} em primeira ordem.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função de alturas é z=f(x,y)=3+\cos(xy)+\operatorname{sen}(xy).
  • O domínio de projeção é o quadrado D=[0,1]\times[0,1].
  • Precisamos montar a integral de área sobre D e depois aproximá‑la usando expansões em primeira ordem.

Passo 2

Fórmula da área de uma superfície dada por z=f(x,y) sobre um domínio D:
\text{Área}=\iint_{D}\sqrt{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}\,dA.Á
Explicação didática: essa fórmula vem da aproximação local da superfície por um plano tangente. As derivadas parciais f_x e f_y medem as inclinações nas direções x e y; quanto maiores, maior a contribuição para a área além da projeção plana.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=3+\cos(xy)+\operatorname{sen}(xy). Usamos a regra da cadeia: se g(u)=\cos u então g'(u)=-\sin u; se h(u)=\operatorname{sen} u então h'(u)=\cos u. Tomando u=xy e derivando em relação a x e y:
\begin{aligned} f_x(x,y)&=\frac{\partial}{\partial x}\big(\cos(xy)+\operatorname{sen}(xy)\big)\\[4pt] &=-y\sin(xy)+y\cos(xy)=y\big(-\sin(xy)+\cos(xy)\big), \end{aligned}
\begin{aligned} f_y(x,y)&=\frac{\partial}{\partial y}\big(\cos(xy)+\operatorname{sen}(xy)\big)\\[4pt] &=-x\sin(xy)+x\cos(xy)=x\big(-\sin(xy)+\cos(xy)\big). \end{aligned}
Note que o termo constante 3 desaparece nas derivadas.]

Passo 4

Montamos a integral de área substituindo f_x e f_y na fórmula da área:
\text{Área}= \iint_{[0,1]^2}\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dx\,dy.Á
Substituindo explicitamente:
\text{Área}=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\sqrt{1+(x^2+y^2)\big(-\sin(xy)+\cos(xy)\big)^2}\;dx\,dy.Á
Esta é a integral exata que pede o enunciado (montagem da integral).

Passo 5

Agora vamos estimar a integral usando aproximações em primeira ordem. Primeiro, as expansões em torno de u=0 (série de Taylor de baixa ordem):
\sin u \approx u \quad\text{(primeira ordem)}
\cos u \approx 1 \quad\text{(termo constante; o termo linear de \(\cos\) é zero)}é
Aqui tomamos u=xy. Então, em primeira ordem,
-\sin(xy)+\cos(xy)\approx -xy + 1 = 1-xy.
Explicação: para \sin mantemos o termo linear u; para \cos o desenvolvimento até primeira ordem é simplesmente o termo constante 1 (não há termo linear).

Passo 6

Definimos t dentro da raiz para aplicar a linearização de \sqrt{1+t}:
t=(x^2+y^2)\big(-\sin(xy)+\cos(xy)\big)^2.
Usando a aproximação do passo anterior:
t \approx (x^2+y^2)(1-xy)^2 = (x^2+y^2)\big(1-2xy+x^2y^2\big).
Agora aplicamos a aproximação em primeira ordem de \sqrt{1+t} (linearização em t, válida se t for pequeno):
\sqrt{1+t}\approx 1+\frac{t}{2}.
Portanto a integrando se aproxima por 1+\dfrac{1}{2}t.

Passo 7

Substituímos e obtemos a aproximação da área:
\text{Área}\approx \iint_{[0,1]^2}\left(1+\frac{1}{2}(x^2+y^2)(1-2xy+x^2y^2)\right)dx\,dy.Á
Separamos em duas partes:
\text{Área}\approx \iint_{[0,1]^2}1\,dx\,dy \;+\; \frac{1}{2}\iint_{[0,1]^2}(x^2+y^2)(1-2xy+x^2y^2)\,dx\,dy.Á
A primeira integral é a área do quadrado:
\iint_{[0,1]^2}1\,dx\,dy = 1.
Agora calculamos a segunda integral passo a passo. Expanda o integrando:
(x^2+y^2)(1-2xy+x^2y^2)=x^2+y^2-2x^3y-2xy^3+x^4y^2+x^2y^4.
Integramos termo a termo sobre [0,1]^2. Usamos \int_{0}^{1}x^n dx=\dfrac{1}{n+1}.
Cálculos:
\iint x^2\,dx\,dy=\frac{1}{3},\qquad \iint y^2\,dx\,dy=\frac{1}{3},
\iint -2x^3y\,dx\,dy=-2\left(\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4},
\iint -2xy^3\,dx\,dy=-\frac{1}{4},
\iint x^4y^2\,dx\,dy=\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{15},
\iint x^2y^4\,dx\,dy=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{15}.
Somando todos:
\iint_{[0,1]^2}(x^2+y^2)(1-2xy+x^2y^2)\,dx\,dy = \frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{15}+\frac{1}{15}.
Calculemos em frações com denominador comum 30:
\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{20}{30},\qquad -\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=-\frac{15}{30},\qquad \frac{1}{15}+\frac{1}{15}=\frac{4}{30}.
Somando: \dfrac{20-15+4}{30}=\dfrac{9}{30}=\dfrac{3}{10}.

Passo 8

Voltando à expressão da área aproximada:
\text{Área}\approx 1+\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{10}=1+\frac{3}{20}=\frac{23}{20}.Á
Em forma decimal (usando vírgula conforme pedido): \dfrac{23}{20}=1,15.
Interpretação final: usando as aproximações em primeira ordem pedidas, a área estimada da superfície sobre o quadrado [0,1]\times[0,1] é \dfrac{23}{20}\approx 1,15. Dá para respirar aliviado: não explode para valores grandes — ficou um número bem razoável.

Resposta

\displaystyle \text{Área}=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\sqrt{1+(x^2+y^2)\big(-\sin(xy)+\cos(xy)\big)^2}\;dx\,dy.Á
\displaystyle \text{Área}\approx \frac{23}{20}=1,15.Á

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