Calcule a integral
, onde
é a região dentro do cilindro
e entre os planos
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde
é a região limitada pelo cilindro
e pelos planos
e
.
Informações dadas:
- A superfície lateral é o cilindro de equação
(ou seja, raio igual a ). - A região está entre os planos
e . - O integrando é
.
O que se pede:
- Avaliar numericamente a integral tripla acima sobre a região
.
Passo 2
Vamos escolher coordenadas cilíndricas porque a região é circular em
e o integrando depende de
. As coordenadas cilíndricas são definidas por
onde
é a distância ao eixo
(ou seja,
),
é o ângulo polar e
permanece o mesmo. Aqui:
-
mede o raio no plano ; -
varia ao redor do eixo ; -
é a coordenada vertical.
Explicação sobre o elemento de volume: em coordenadas cilíndricas o elemento de área no plano
é aproximado por um retângulo de lados
e
(porque um arco de ângulo
numa circunferência de raio
tem comprimento
). Assim, o elemento de volume é
Esse fator extra
é o jacobiano da transformação cartesianas
cilíndricas.
Passo 3
Expressamos o integrando em coordenadas cilíndricas. Como
, temos
Multiplicando pelo jacobiano
do diferencial de volume, o integrando total fica
Passo 4
Agora determinamos os limites de integração a partir da descrição da região
:
- O cilindro
corresponde a . Como estamos dentro do cilindro, . - Como o cilindro é completo em torno do eixo,
varia por todo o círculo: . - Os planos dão
.
Portanto os limites são
,
,
.
Passo 5
Montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Passo 6
Integramos primeiro em
(porque o integrando
não depende de
):
Logo a integral reduz-se a
Passo 7
Agora integramos em
:
Portanto a integral fica
Passo 8
Resta apenas a integral em
: