Calcule a integral \iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d V, onde E é a região dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=1 e entre os planos z=-1 e z=2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, dV,
onde E é a região limitada pelo cilindro x^{2}+y^{2}=1 e pelos planos z=-1 e z=2.
Informações dadas:
  • A superfície lateral é o cilindro de equação \;x^{2}+y^{2}=1\; (ou seja, raio igual a 1).
  • A região está entre os planos \;z=-1\; e \;z=2\;.
  • O integrando é \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
O que se pede:
  • Avaliar numericamente a integral tripla acima sobre a região E.

Passo 2

Vamos escolher coordenadas cilíndricas porque a região é circular em x,y e o integrando depende de \sqrt{x^{2}+y^{2}}. As coordenadas cilíndricas são definidas por
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,
onde r\ge 0 é a distância ao eixo z (ou seja, r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}), \theta é o ângulo polar e z permanece o mesmo. Aqui:
  • r mede o raio no plano xy;
  • \theta varia ao redor do eixo z;
  • z é a coordenada vertical.
Explicação sobre o elemento de volume: em coordenadas cilíndricas o elemento de área no plano xy é aproximado por um retângulo de lados dr e r\,d\theta (porque um arco de ângulo d\theta numa circunferência de raio r tem comprimento r\,d\theta). Assim, o elemento de volume é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Esse fator extra r é o jacobiano da transformação cartesianas \to cilíndricas.

Passo 3

Expressamos o integrando em coordenadas cilíndricas. Como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, temos
\sqrt{x^{2}+y^{2}} = r.
Multiplicando pelo jacobiano r do diferencial de volume, o integrando total fica
\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dV = r \cdot (r\,dr\,d\theta\,dz) = r^{2}\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 4

Agora determinamos os limites de integração a partir da descrição da região E:
  • O cilindro x^{2}+y^{2}=1 corresponde a r=1. Como estamos dentro do cilindro, 0\le r\le 1.
  • Como o cilindro é completo em torno do eixo, \theta varia por todo o círculo: 0\le\theta\le 2\pi.
  • Os planos dão -1 \le z \le 2.
Portanto os limites são r\in[0,1], \theta\in[0,2\pi], z\in[-1,2].

Passo 5

Montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
\iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=-1}^{2} r^{2}\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 6

Integramos primeiro em z (porque o integrando r^{2} não depende de z):
\int_{z=-1}^{2} r^{2}\,dz = r^{2}\bigl[z\bigr]_{z=-1}^{z=2} = r^{2}\,(2-(-1)) = 3r^{2}.
Logo a integral reduz-se a
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} 3r^{2}\,dr\,d\theta.

Passo 7

Agora integramos em r:
\int_{0}^{1} 3r^{2}\,dr = 3\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = 3\cdot\frac{1}{3} = 1.
Portanto a integral fica
\int_{0}^{2\pi} 1 \, d\theta.

Passo 8

Resta apenas a integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi} 1 \, d\theta.

Resposta

2\pi

Exercícios relacionados