Calcule a integral \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) d A, em que D é a região entre os círculos centrados na origem de raios 1 e 4 .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA,
onde D é a região entre os círculos centrados na origem com raios 1 e 4.\n
Informações dadas:
A função a integrar é x^{2}+y^{2}.
A região D é um anel (ou coroa circular) centrado na origem, com raio interno 1 e raio externo 4.
Preciso calcular o valor numérico da integral dupla sobre D.
Passo 2
Escolha do método: como a região é circular (centro na origem) e a integranda depende de x^{2}+y^{2} (isto é, só da distância ao centro), é muito natural usar coordenadas polares. Coordenadas polares costumam simplificar integrais em regiões circulares porque expressam a distância e o ângulo diretamente. Vou explicar como fazer a mudança e por que funciona.
Passo 3
O que são coordenadas polares e como usá-las: em coordenadas polares representamos um ponto (x,y) por (r,\theta), onde
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
com r\ge 0 sendo a distância do ponto à origem e \theta o ângulo medido a partir do eixo x. Ao trocar para polares, o elemento de área dA não é simplesmente dr\,d\theta: pela geometria de um pequeno retângulo polar (largura aproximada dr e altura aproximada r\,d\theta), o elemento de área é
dA = r\,dr\,d\theta.
Aqui r aparece porque quando giramos um segmento radial de comprimento dr por um ângulo d\theta a distância percorrida é aproximadamente r\,d\theta, formando um pequeno setor cuja área é r\,d\theta\cdot dr.
Passo 4
Descrever D em polares: como D é a região entre os círculos de raios 1 e 4 centrados na origem, em coordenadas polares isso corresponde a
1 \le r \le 4,\qquad 0 \le \theta \le 2\pi.
(Estou usando os dados do enunciado: raios 1 e 4.)
Passo 5
Transformar a integranda e montar a integral em polares: como
Mostrei a multiplicação e a simplificação final passo a passo.
Passo 8
Interpretação rápida e motivação: o resultado é proporcional a \pi como era de se esperar em problemas com simetria circular. Um jeito rápido de conferir mentalmente: integrando r^{3} de 1 a 4 dá um número positivo (aqui 255/4) e multiplicamos pelo comprimento angular 2\pi.