Calcule a integral \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) d A, em que D é a região entre os círculos centrados na origem de raios 1 e 4 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA,
onde D é a região entre os círculos centrados na origem com raios 1 e 4.\n
Informações dadas:
  • A função a integrar é x^{2}+y^{2}.
  • A região D é um anel (ou coroa circular) centrado na origem, com raio interno 1 e raio externo 4.
  • Preciso calcular o valor numérico da integral dupla sobre D.

Passo 2

Escolha do método: como a região é circular (centro na origem) e a integranda depende de x^{2}+y^{2} (isto é, só da distância ao centro), é muito natural usar coordenadas polares. Coordenadas polares costumam simplificar integrais em regiões circulares porque expressam a distância e o ângulo diretamente. Vou explicar como fazer a mudança e por que funciona.

Passo 3

O que são coordenadas polares e como usá-las: em coordenadas polares representamos um ponto (x,y) por (r,\theta), onde
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
com r\ge 0 sendo a distância do ponto à origem e \theta o ângulo medido a partir do eixo x. Ao trocar para polares, o elemento de área dA não é simplesmente dr\,d\theta: pela geometria de um pequeno retângulo polar (largura aproximada dr e altura aproximada r\,d\theta), o elemento de área é
dA = r\,dr\,d\theta.
Aqui r aparece porque quando giramos um segmento radial de comprimento dr por um ângulo d\theta a distância percorrida é aproximadamente r\,d\theta, formando um pequeno setor cuja área é r\,d\theta\cdot dr.

Passo 4

Descrever D em polares: como D é a região entre os círculos de raios 1 e 4 centrados na origem, em coordenadas polares isso corresponde a
1 \le r \le 4,\qquad 0 \le \theta \le 2\pi.
(Estou usando os dados do enunciado: raios 1 e 4.)

Passo 5

Transformar a integranda e montar a integral em polares: como
x^{2}+y^{2}=r^{2},
e dA = r\,dr\,d\theta, a integral fica
\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=1}^{4} r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{4} r^{3}\,dr\,d\theta.
Expliquei cada substituição: x^{2}+y^{2} virou r^{2} e o jacobiano forneceu o fator extra r, resultando em r^{3} no integrando.

Passo 6

Calcular a integral interna em r:
\int_{1}^{4} r^{3}\,dr.
A primitiva de r^{3} é \dfrac{r^{4}}{4}. Avaliando entre 1 e 4 temos
\int_{1}^{4} r^{3}\,dr = \left.\dfrac{r^{4}}{4}\right|_{1}^{4} = \dfrac{4^{4}}{4}-\dfrac{1^{4}}{4} = \dfrac{256}{4}-\dfrac{1}{4} = \dfrac{255}{4}.

Passo 7

Agora faço a integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\left(\dfrac{255}{4}\right)\,d\theta = \dfrac{255}{4}\int_{0}^{2\pi} d\theta = \dfrac{255}{4}\cdot 2\pi = \dfrac{255\pi}{2}.
Mostrei a multiplicação e a simplificação final passo a passo.

Passo 8

Interpretação rápida e motivação: o resultado é proporcional a \pi como era de se esperar em problemas com simetria circular. Um jeito rápido de conferir mentalmente: integrando r^{3} de 1 a 4 dá um número positivo (aqui 255/4) e multiplicamos pelo comprimento angular 2\pi.

Resposta

\dfrac{255\pi}{2}

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