[LTI, Método dos coeficientes a determinar para encontrar \left.y_{p}(t)\right] Resolva o pvi
\left\{\begin{aligned} y^{\prime \prime}(t)+3 y^{\prime}(t)+2 y(t) & \equiv 50 \cos (t) \\\ y(0) & =0 \\\ y^{\prime}(0) & =0 \end{aligned}\right.
Use o seguinte roteiro:
(a) Insira a Tentativa y_{h}(t)=C e^{\lambda t} na equação diferencial, obtendo uma equação de segundo grau para a variável \lambda;
(b) Escreva a solução geral c_{1} y_{h 1}(t)+c_{2} y_{h 2}(t) da equação diferencial, onde y_{h k}(t):=e^{\lambda_{k} t} sendo \lambda_{k} cada uma das duas raízes da equação de segundo grau que você resolveu em \lambda.
(c) como tentativa para ser uma solução particular y_{p}(t)=A \cos (t)+B \operatorname{sen}(t) e, ao substituir na equação diferencial, encontre os coeficientes A e B;
(d) Considere y_{g n h}(t)=y_{g h}(t)+y_{p}(t)=c_{1} y_{h 1}(t)+c_{2} y_{h 2}(t)+y_{p}(t) e encontre os coeficientes c_{1} e c_{2} impondo as condições iniciais para encontrar a solução y(t).

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
y''(t)+3y'(t)+2y(t)=50\cos(t),\quad y(0)=0,\quad y'(0)=0,
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar:
  1. Encontrar a solução geral da homogênea via equação característica.
  2. Fazer a tentativa y_p(t)=A\cos t+B\sin t para a parte particular.
  3. Impor as condições iniciais para achar c_1 e c_2.

Passo 2

Procuramos a solução homogênea y_h(t)=Ce^{\lambda t}. Substituindo em y''+3y'+2y=0 dá a equação característica
\lambda^2+3\lambda+2=0.
Resolvendo,
\lambda_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{9-8}}{2}=\frac{-3\pm1}{2},
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\lambda_1=-1 e \lambda_2=-2.

Passo 3

A solução geral da homogênea é
y_h(t)=c_1e^{-t}+c_2e^{-2t}.

Passo 4

Para a solução particular usamos
y_p(t)=A\cos t+B\sin t.
Então
y_p'(t)=-A\sin t+B\cos t, \quad y_p''(t)=-A\cos t -B\sin t.
Substituindo em y''+3y'+2y=50\cos t\) e agrupando senos e cossenos: \[(A+3B)\cos t+(B-3A)\sin t=50\cos t+0\sin t.
Isto dá o sistema
\begin{cases} A+3B=50,\\\ B-3A=0, \end{cases}
daí B=3A\] e \(A+9A=50\implies10A=50\implies A=5, B=15. Logo
y_p(t)=5\cos t+15\sin t.

Passo 5

A solução geral do PVI é
y(t)=c_1e^{-t}+c_2e^{-2t}+5\cos t+15\sin t.
Impondo y(0)=0\) e \(y'(0)=0\): \[y(0)=c_1+c_2+5=0\quad\Rightarrow\quad c_1+c_2=-5,
y'(t)=-c_1e^{-t}-2c_2e^{-2t}-5\sin t+15\cos t
y'(0)=-c_1-2c_2+15=0\quad\Rightarrow\quad c_1+2c_2=15.
Resolvendo
\begin{cases} c_1+c_2=-5,\\\ c_1+2c_2=15, \end{cases}
obtém-se c_2=20\], \(c_1=-25.

Resposta

\boxed{y(t)=-25e^{-t}+20e^{-2t}+5\cos t+15\sin t.}

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