Calcule a integral
\iint_{D} \sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
onde a, b>0 e D é o conjunto limitado pela elipse x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}=1. Dica: Exercício feito em sala.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} \sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}}\,dx\,dy
onde D é a região interior da elipse \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1. O conteúdo principal é mudança de variáveis em integrais duplas e uso de coordenadas polares (ou elípticas).

Passo 2

Fazemos primeiro a mudança linear
x = a\,u,\quad y = b\,v,
que leva D no plano x,y para o disco unitário u^{2}+v^{2}\le1 no plano u,v. O jacobiano dessa transformação é
\bigl|\det J\bigr| = a\,b,
então a integral vira
\iint_{D}\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}}\,dx\,dy = a\,b \iint_{u^{2}+v^{2}\le1}\sqrt{1-u^{2}-v^{2}}\,du\,dv.

Passo 3

Agora passemos a coordenadas polares no disco unitário:
u = r\cos\theta,\quad v = r\sin\theta,\quad 0\le r\le1,\;0\le\theta\le2\pi,
com du\,dv = r\,dr\,d\theta. A integral fica
a\,b \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1} \sqrt{1-r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculemos a parte radial
\int_{0}^{1} r\sqrt{1-r^{2}}\,dr.
Use t=1-r^{2}, dt=-2r\,dr, logo
\int_{0}^{1} r\sqrt{1-r^{2}}\,dr =\int_{t=1}^{0}\sqrt{t}\,\bigl(-\tfrac{dt}{2}\bigr) =\frac12\int_{0}^{1}t^{1/2}dt =\frac12\cdot\frac{2}{3} =\frac{1}{3}.

Passo 5

A parte angular é
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi.
Portanto a integral total vale
a\,b \,\bigl(2\pi\bigr)\,\frac{1}{3} =\frac{2\pi\,a\,b}{3}.

Resposta

\frac{2\pi\,a\,b}{3}.

Exercícios relacionados