Prove a proposição 3.1 descrevendo as propriedades das funções pares e ímpares.
Passo 1
O enunciado trata da Proposição 3.1, que reúne as propriedades de fechamento de funções pares e ímpares nos operadores soma, subtração, produto, quociente e composição. Vamos usar a definição de função par:
e de função ímpar:
sempre em domínios simétricos em torno de zero, e mostrar como essas identidades se comportam sob cada operação.
Passo 2
Soma e subtração.
Suponha e
pares. Então
Suponha
logo
é par. De modo análogo,
portanto
é par.
Se
e
são ímpares, então
ou seja,
é ímpar, e o mesmo vale para
.
Passo 3
Produto e quociente.
Se e
são pares,
Se
então
é par. Se ambos são ímpares,
logo
também é par. Se um é par e o outro ímpar, digamos
par e
ímpar,
portanto
é ímpar. As mesmas contas valem para o quociente
, desde que
.
Passo 4
Composição.
Para temos duas situações:
Para
- Se
é par, então e, para qualquer ,
ou seja,
é par, independentemente de
.
2. Se é ímpar, então
. Daí
2. Se
- se
é par,
logo
é par;
- se
é ímpar,
logo
é ímpar.
Resposta
As propriedades da Proposição 3.1 ficam assim:
- Soma e subtração de pares resulta em par; soma e subtração de ímpares resulta em ímpar.
- Produto (ou quociente) de dois pares ou de dois ímpares é par; de um par com um ímpar é ímpar.
- Na composição
, se é par então é sempre par; se é ímpar então é par quando é par e ímpar quando é ímpar.