Prove a proposição 3.1 descrevendo as propriedades das funções pares e ímpares.

Passo 1

O enunciado trata da Proposição 3.1, que reúne as propriedades de fechamento de funções pares e ímpares nos operadores soma, subtração, produto, quociente e composição. Vamos usar a definição de função par:
f(-x)=f(x)
e de função ímpar:
f(-x)=-\,f(x)
sempre em domínios simétricos em torno de zero, e mostrar como essas identidades se comportam sob cada operação.

Passo 2

Soma e subtração.
Suponha f e g pares. Então
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x),
logo f+g é par. De modo análogo,
(f-g)(-x)=f(-x)-g(-x)=f(x)-g(x)=(f-g)(x),
portanto f-g é par.
Se f e g são ímpares, então
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f(x)+g(x))=-(f+g)(x),
ou seja, f+g é ímpar, e o mesmo vale para f-g.

Passo 3

Produto e quociente.
Se f e g são pares,
(fg)(-x)=f(-x)\,g(-x)=f(x)\,g(x)=(fg)(x),
então fg é par. Se ambos são ímpares,
(fg)(-x)=f(-x)\,g(-x)=(-f(x))\,(-g(x))=f(x)g(x)=(fg)(x),
logo fg também é par. Se um é par e o outro ímpar, digamos f par e g ímpar,
(fg)(-x)=f(-x)\,g(-x)=f(x)\,(-g(x))=-\,f(x)g(x)=-(fg)(x),
portanto fg é ímpar. As mesmas contas valem para o quociente f/g, desde que g(x)\neq0.

Passo 4

Composição.
Para h(x)=f\bigl(g(x)\bigr) temos duas situações:
  1. Se g é par, então g(-x)=g(x) e, para qualquer f,
h(-x)=f\bigl(g(-x)\bigr)=f\bigl(g(x)\bigr)=h(x),
ou seja, f\circ g é par, independentemente de f.
2. Se g é ímpar, então g(-x)=-g(x). Daí
  • se f é par,
h(-x)=f\bigl(g(-x)\bigr)=f\bigl(-g(x)\bigr)=f\bigl(g(x)\bigr)=h(x),
logo f\circ g é par;
  • se f é ímpar,
h(-x)=f\bigl(g(-x)\bigr)=f\bigl(-g(x)\bigr)=-\,f\bigl(g(x)\bigr)=-\,h(x),
logo f\circ g é ímpar.

Resposta

As propriedades da Proposição 3.1 ficam assim:
  1. Soma e subtração de pares resulta em par; soma e subtração de ímpares resulta em ímpar.
  2. Produto (ou quociente) de dois pares ou de dois ímpares é par; de um par com um ímpar é ímpar.
  3. Na composição f\circ g, se g é par então f\circ g é sempre par; se g é ímpar então f\circ g é par quando f é par e ímpar quando f é ímpar.

Exercícios relacionados