Calcule a integral
\iint_{Q}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
onde Q=[0,2] \times[1,2].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{Q}(x^{2}+y^{2})\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y
no retângulo Q = [0,2]\times[1,2]. Para resolver usamos a ideia de integral iterada e a linearidade da integral: podemos integrar em uma variável de cada vez.

Passo 2

Escrevemos a integral dupla como uma iterada, integrando primeiro em y e depois em x:
\iint_{Q}(x^{2}+y^{2})\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_{0}^{2}\Bigl(\int_{1}^{2}(x^{2}+y^{2})\,\mathrm{d}y\Bigr)\mathrm{d}x.

Passo 3

Calculamos a integral interna em y:
\int_{1}^{2}(x^{2}+y^{2})\,\mathrm{d}y = x^{2}\int_{1}^{2}1\,\mathrm{d}y \;+\;\int_{1}^{2}y^{2}\,\mathrm{d}y = x^{2}(2-1) \;+\;\frac{2^{3}-1^{3}}{3} = x^{2} + \frac{7}{3}.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int_{0}^{2}\Bigl(x^{2}+\tfrac{7}{3}\Bigr)\mathrm{d}x = \int_{0}^{2}x^{2}\,\mathrm{d}x \;+\;\frac{7}{3}\int_{0}^{2}1\,\mathrm{d}x = \frac{2^{3}}{3} + \frac{7}{3}\cdot2 = \frac{8}{3} + \frac{14}{3} = \frac{22}{3}.

Resposta

\frac{22}{3}

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