Usando integrais duplas, prove que a área de um circulo de raio R é
A=\pi R^{2}
Dica: Use coordenadas polares.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área de um círculo de raio R usando integrais duplas e coordenadas polares. O conteúdo principal é a mudança de variável de retangulares (x,y) para polares (r,\theta) e o uso do fator jacobiano para obter a expressão da área.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas, a área do domínio D (círculo de raio R) é
A = \iint_{D} dA.
Para aproveitar a simetria do círculo, vamos trocar para coordenadas polares, em que x = r\cos\theta, y = r\sin\theta.

Passo 3

Na mudança para coordenadas polares, o elemento de área dA se transforma em
dA = \bigl|\det J\bigr|\,dr\,d\theta = r\,dr\,d\theta,
pois o Jacobiano da transformação (r,\theta)\mapsto(x,y) é r.

Passo 4

Em polares, o círculo de raio R corresponde aos valores
0 \le r \le R, \quad 0 \le \theta \le 2\pi.
Assim a integral dupla vira
A = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{R} r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Primeiro avaliamos a integral em r:
\int_{r=0}^{R} r\,dr = \biggl[\frac{r^{2}}{2}\biggr]_{0}^{R} = \frac{R^{2}}{2}.

Passo 6

Agora integramos em \theta:
A = \int_{0}^{2\pi} \frac{R^{2}}{2}\,d\theta = \frac{R^{2}}{2}\,\bigl[\,\theta\,\bigr]_{0}^{2\pi} = \frac{R^{2}}{2}\,(2\pi) = \pi R^{2}.

Passo 7

Concluímos que a área do círculo de raio R é
A = \pi R^{2}.

Resposta

A área do círculo de raio R é \pi R^{2}.

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