Calcule a integral \iint_{S} \int \frac{z-x^{3}}{1+x^{2}} d x d y d z onde S: 0<x<1, x^{2}-1<y<x^{2}, x^{3}<z<x^{3}+2, mediante a transformação: u=x, v=y-x^{2}, w=z-x^{3} . \quad\left(H=\frac{\pi}{2} m^{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{S}\frac{z - x^{3}}{1 + x^{2}}\;dx\,dy\,dz
sobre a região S dada por
0 < x < 1,\quad x^{2}-1 < y < x^{2},\quad x^{3} < z < x^{3}+2,
usando a mudança de variáveis
u = x,\quad v = y - x^{2},\quad w = z - x^{3}.
O conteúdo principal é a aplicação de mudança de variáveis em integrais triplas e o cálculo do jacobiano.

Passo 2

Vamos expressar os limites de S em termos de (u,v,w). Como x=u, y=v+u^{2} e z=w+u^{3}, temos:
0 < x < 1 vira
0 < u < 1.
x^{2}-1 < y < x^{2}
-1 < v < 0.
x^{3} < z < x^{3}+2
0 < w < 2.
Logo, a nova região R é
0 < u < 1,\quad -1 < v < 0,\quad 0 < w < 2.

Passo 3

Calculamos o jacobiano da transformação (u,v,w)\mapsto(x,y,z). As expressões são
x = u,\quad y = v + u^{2},\quad z = w + u^{3},
de modo que a matriz jacobiana é
\begin{pmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v & \partial x/\partial w\\\ \partial y/\partial u & \partial y/\partial v & \partial y/\partial w\\\ \partial z/\partial u & \partial z/\partial v & \partial z/\partial w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2u & 1 & 0\\\\ 3u^{2} & 0 & 1 \end{pmatrix}
e seu determinante é
J = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1.
Portanto dx\,dy\,dz = du\,dv\,dw.

Passo 4

Na nova variável, o integrando (z - x^{3})/(1 + x^{2}) vira
\frac{w}{1 + u^{2}}
e o elemento de volume é du\,dv\,dw. Assim a integral se torna
\int_{u=0}^{1}\int_{v=-1}^{0}\int_{w=0}^{2}\frac{w}{1 + u^{2}}\;dw\,dv\,du.
Como o integrando não depende de v, a integral em v só dá fator de comprimento 1. Em seguida,
\int_{w=0}^{2}w\,dw = \left.\frac{w^{2}}{2}\right|_{0}^{2} = 2.
Logo a integral vale
\int_{0}^{1}\frac{2}{1 + u^{2}}\,du = 2\bigl[\arctan(u)\bigr]_{0}^{1} = 2\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

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