Um sólido está contido no cilindro x^{2}+y^{2}=2, abaixo do plano z=5 e acima do paraboloide z=2-x^{2}-y^{2}. A densidade em qualquer ponto é proporcional à distancia do ponto ao eixo z . Determine a massa do sólido.
\left(M=\frac{28 \sqrt{2} \pi k}{5} \mathrm{~kg}\right)

Passo 1

O problema pede a massa de um sólido S contido no cilindro x^{2}+y^{2}=2, limitado inferiormente pelo paraboloide z=2-x^{2}-y^{2} e superiormente pelo plano z=5. A densidade em cada ponto é \delta = k\,d, em que d é a distância ao eixo z, ou seja, d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Vamos usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) em que x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z e o elemento de volume vale dV = r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas a região S é dada por
0 \le r \le \sqrt{2},\quad 0 \le \theta \le 2\pi,\quad 2 - r^{2} \le z \le 5.
A densidade vira \delta = k\,r. Assim a massa é
M = \iiint_{S} \delta\,dV = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\sqrt{2}}\!\int_{z=2 - r^{2}}^{5} \bigl(k\,r\bigr)\,\bigl(r\,dz\,dr\,d\theta\bigr).

Passo 3

Reorganizando o integrando obtemos
M = k \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\sqrt{2}}\!\int_{2 - r^{2}}^{5} r^{2}\,dz\,dr\,d\theta.
Primeiro integramos em z:
\int_{2 - r^{2}}^{5} r^{2}\,dz = r^{2}\bigl[\,z\bigr]_{z=2 - r^{2}}^{5} = r^{2}\bigl(5 - (2 - r^{2})\bigr) = r^{2}(3 + r^{2}).

Passo 4

Agora a integral em r:
\int_{0}^{\sqrt{2}} r^{2}(3 + r^{2})\,dr = \int_{0}^{\sqrt{2}} (3r^{2} + r^{4})\,dr = \bigl[r^{3}\bigr]_{0}^{\sqrt{2}} + \bigl[\tfrac{r^{5}}{5}\bigr]_{0}^{\sqrt{2}} = (\sqrt{2})^{3} + \frac{(\sqrt{2})^{5}}{5} = 2\sqrt{2} + \frac{4\sqrt{2}}{5} = \frac{14\sqrt{2}}{5}.

Passo 5

Finalmente integramos em \theta e multiplicamos pelo fator k:
M = k \int_{0}^{2\pi} \frac{14\sqrt{2}}{5}\,d\theta = k \cdot \frac{14\sqrt{2}}{5} \cdot 2\pi = \frac{28\sqrt{2}\,\pi\,k}{5}.

Resposta

M = \frac{28\sqrt{2}\,\pi\,k}{5}\text{ kg}

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