Um sólido está contido no cilindro
, abaixo do plano
e acima do paraboloide
. A densidade em qualquer ponto é proporcional à distancia do ponto ao eixo z . Determine a massa do sólido.
Passo 1
O problema pede a massa de um sólido
contido no cilindro
, limitado inferiormente pelo paraboloide
e superiormente pelo plano
. A densidade em cada ponto é
, em que
é a distância ao eixo
, ou seja,
. Vamos usar coordenadas cilíndricas
em que
,
,
e o elemento de volume vale
.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas a região
é dada por
A densidade vira
. Assim a massa é
Passo 3
Reorganizando o integrando obtemos
Primeiro integramos em
:
Passo 4
Agora a integral em
:
Passo 5
Finalmente integramos em
e multiplicamos pelo fator
: