Encontre o volume da região D limitada pelas superfícies \mathrm{z}+\mathrm{x}^{2}=4, \mathrm{y}+\mathrm{z}=4, \mathrm{y}=0 \mathrm{e} \mathrm{z}=0.
\left(\mathrm{V}=\frac{128}{3} \mathrm{~m}^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede o volume da região D limitada pelas quatro superfícies \;z + x^2 = 4,\;y+z = 4,\;y=0,\;z=0.
O método será montar um integral triplo em coordenadas cartesianas e calcular em etapas.

Passo 2

Para entender a região, isolamos z e y em função de x e z:
a) De z + x^2 = 4 vem
z \le 4 - x^2,
b) De y + z = 4 vem
y \le 4 - z,
c) e das superfícies coordenadas y=0 e z=0 temos
y \ge 0,\quad z \ge 0.
Como 4 - x^2\ge0 impõe -2\le x\le2, concluímos
-2 \le x \le 2,\quad 0 \le z \le 4 - x^2,\quad 0 \le y \le 4 - z.

Passo 3

O volume é
V \;=\;\int_{x=-2}^{2}\int_{z=0}^{4 - x^2}\int_{y=0}^{4 - z} dy\,dz\,dx.

Passo 4

Integramos primeiro em y:
\int_{y=0}^{4 - z} dy \;=\;4 - z.
Logo
V = \int_{-2}^{2}\int_{0}^{4 - x^2} (4 - z)\,dz\,dx.

Passo 5

Agora em z:
\int_{0}^{4 - x^2} (4 - z)\,dz =\Bigl[4z-\tfrac{z^2}{2}\Bigr]_{0}^{4 - x^2} =4(4 - x^2)\;-\;\tfrac{(4 - x^2)^2}{2} =8 \;-\;\tfrac{x^4}{2}.
Assim
V = \int_{-2}^{2}\Bigl(8 - \tfrac{x^4}{2}\Bigr)\,dx.

Passo 6

Finalmente em x:
\int_{-2}^{2}8\,dx = 8\cdot(2-(-2))=32, \quad \int_{-2}^{2}\tfrac{x^4}{2}\,dx =\tfrac12\cdot\frac{2\cdot2^5}{5} =\frac{32}{5}.
Logo
V = 32 - \frac{32}{5} = \frac{160 - 32}{5} = \frac{128}{5}.

Resposta

O volume da região D é
V = \frac{128}{5}\\ \text{m}^3.

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