Use a transformação \mathrm{u}=\mathrm{x}-\mathrm{y} e \mathrm{v}=2 \mathrm{x}+\mathrm{y} para calcular a integral \int_{D} \int\left(2 \mathrm{x}^{2}-x y-y^{2}\right) d x d y para a região D no primeiro quadrante limitada pelas retas \mathrm{y}=-2 \mathrm{x}+4, \mathrm{y}=-2 \mathrm{x}+7, \mathrm{y}=\mathrm{x}-2, e \mathrm{y}=\mathrm{x}+1.
\left(\mathrm{H}=\frac{33}{4} \mathrm{~m}^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\bigl(2x^{2}-xy-y^{2}\bigr)\,dx\,dy
na região D do primeiro quadrante limitada pelas retas
y=-2x+4,\quad y=-2x+7,\quad y=x-2,\quad y=x+1,
usando a transformação
u = x - y,\qquad v = 2x + y.
O conteúdo é mudança de variável em integrais dobradas: precisamos achar a inversa, o Jacobiano, transformar o integrando e a região e então integrar num retângulo em (u,v).

Passo 2

Resolvendo o sistema
\begin{cases} u = x - y,\\\ v = 2x + y \end{cases}
para x,y, somamos as equações para eliminar y:
u + v = 3x \implies x = \frac{u+v}{3}.
Em seguida, y = x - u
y = \frac{u+v}{3} - u = \frac{u+v-3u}{3} = \frac{v-2u}{3}.

Passo 3

O Jacobiano da transformação (u,v)\mapsto(x,y) é
J = \det\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[6pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} \frac13 & \frac13 \\[4pt] -\tfrac23 & \frac13 \end{pmatrix} = \frac{1}{3}.
Logo
dx\,dy = \bigl|J\bigr|\,du\,dv = \frac{1}{3}\,du\,dv.]

Passo 4

Substituímos x=\tfrac{u+v}{3} e y=\tfrac{v-2u}{3} no integrando
2x^{2}-xy-y^{2} =\frac{2(u+v)^{2}-(u+v)(v-2u)-(v-2u)^{2}}{9}.
Fazendo as contas, todos os termos em u^{2} e v^{2} se cancelam, sobrando
2x^{2}-xy-y^{2} = \frac{9\,u\,v}{9} = u\,v.

Passo 5

Transformamos as retas em constantes de u ou v:
  • y=-2x+4\implies v=2x+y=4.
  • y=-2x+7\implies v=7.
  • y=x-2\implies u=x-y=2.
  • y=x+1\implies u=-1.
Assim a região vira o retângulo
-1\le u\le 2,\qquad 4\le v\le 7.

Passo 6

A integral fica
\iint_{D}(2x^{2}-xy-y^{2})\,dx\,dy =\int_{u=-1}^{2}\!\!\int_{v=4}^{7} \bigl(u\,v\bigr)\,\frac{1}{3}\,dv\,du =\frac{1}{3}\int_{-1}^{2}u\Bigl[\frac{v^{2}}{2}\Bigr]_{4}^{7}du =\frac{1}{3}\int_{-1}^{2}u\cdot\frac{49-16}{2}\,du =\frac{33}{6}\int_{-1}^{2}u\,du
=\frac{33}{6}\Bigl[\frac{u^{2}}{2}\Bigr]_{-1}^{2} =\frac{33}{6}\cdot\frac{4-1}{2} =\frac{33}{6}\cdot\frac{3}{2} =\frac{33}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{33}{4}

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