Use a transformação \mathrm{u}=\mathrm{x}-\mathrm{y} e \mathrm{v}=2 \mathrm{x}+\mathrm{y} para calcular a integral \int_{D} \int\left(2 \mathrm{x}^{2}-x y-y^{2}\right) d x d y para a região D no primeiro quadrante limitada pelas retas \mathrm{y}=-2 \mathrm{x}+4, \mathrm{y}=-2 \mathrm{x}+7, \mathrm{y}=\mathrm{x}-2, e \mathrm{y}=\mathrm{x}+1.
na região D do primeiro quadrante limitada pelas retas
y=-2x+4,\quad y=-2x+7,\quad y=x-2,\quad y=x+1,
usando a transformação
u = x - y,\qquad v = 2x + y.
O conteúdo é mudança de variável em integrais dobradas: precisamos achar a inversa, o Jacobiano, transformar o integrando e a região e então integrar num retângulo em (u,v).
Passo 2
Resolvendo o sistema
\begin{cases} u = x - y,\\\ v = 2x + y \end{cases}
para x,y, somamos as equações para eliminar y:
u + v = 3x \implies x = \frac{u+v}{3}.
Em seguida, y = x - u dá
y = \frac{u+v}{3} - u = \frac{u+v-3u}{3} = \frac{v-2u}{3}.