Calcule a integral \iint_{D} \llbracket x+y \rrbracket d x d y, onde D=[0,2] \times[0,2].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} \llbracket x+y \rrbracket\,dx\,dy,
onde D=[0,2]\times[0,2]. Aqui a notação \llbracket x+y \rrbracket será entendida como a função piso (greatest integer function), isto é, para qualquer real t,
\llbracket t \rrbracket = \lfloor t\rfloor = \text{o maior inteiro } \le t.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A região D é o quadrado \{(x,y):0\le x\le2,\;0\le y\le2\}.
  • Para (x,y)\in D tem-se 0\le x+y\le 4.
  • Logo \lfloor x+y\rfloor só pode assumir os valores 0,1,2,3 quase em todo D (os pontos onde x+y é inteiro formam conjunto de medida zero e não afetam a integral).
    O que se pede: o valor numérico da integral dupla acima.

Passo 2

Ideia útil (explicada didaticamente): a função \lfloor x+y\rfloor é constante em cada conjunto
E_k=\{(x,y)\in D:\;k\le x+y<k+1\}, \qquad k=0,1,2,3.
Quando uma função é constante valendo k em uma região E_k, sua contribuição para a integral dupla é k vezes a área de E_k. Portanto podemos escrever
\iint_{D}\lfloor x+y\rfloor\,dx\,dy =\sum_{k=0}^{3} k\cdot \operatorname{area}(E_k).
Explicando a fórmula: a integral sobre E_k de uma função constante k vale k\cdot área de E_k. Somando sobre os quatro níveis obtemos a integral total.

Passo 3

Vamos calcular as áreas \operatorname{area}(E_k). Uma maneira eficiente é usar a função
A(t)=\operatorname{area}\{(x,y)\in D:\;x+y\le t\},
ou seja, a área do conjunto sob a reta x+y=t dentro do quadrado D. Então
\operatorname{area}(E_k)=A(k+1)-A(k).
Agora obtenha A(t) por análise geométrica, lembrando que 0\le t\le 4:
  • Se 0\le t\le 2, a interseção \{x+y\le t\} com o quadrado é um triângulo retângulo cujos catetos têm comprimento t. Logo
A(t)=\frac{t^2}{2},\qquad 0\le t\le 2.
(Raciocínio: área triângulo = base·altura/2 = t\cdot t/2.)
  • Se 2\le t\le 4, o conjunto \{x+y\le t\} ocupa quase todo o quadrado, faltando um pequeno triângulo no canto superior direito de catetos de comprimento 4-t. Assim
A(t)=\text{área total do quadrado} - \frac{(4-t)^2}{2}=4-\frac{(4-t)^2}{2},\qquad 2\le t\le 4.á
(Área total do quadrado é 2\cdot2=4.)

Passo 4

Calcule agora \operatorname{area}(E_k)=A(k+1)-A(k) para cada k.
Para k=0:
\operatorname{area}(E_0)=A(1)-A(0)=\frac{1^2}{2}-0=\frac{1}{2}.
Para k=1:
\operatorname{area}(E_1)=A(2)-A(1)=\frac{2^2}{2}-\frac{1^2}{2}=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.
Para k=2:
Aqui A(3) usa a fórmula da faixa 2\le t\le4:
A(3)=4-\frac{(4-3)^2}{2}=4-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}.
E A(2)=\dfrac{2^2}{2}=2. Portanto
\operatorname{area}(E_2)=A(3)-A(2)=\frac{7}{2}-2=\frac{3}{2}.
Para k=3:
\operatorname{area}(E_3)=A(4)-A(3)=4-\frac{7}{2}=\frac{1}{2}.
Resumo das áreas:
\operatorname{area}(E_0)=\frac{1}{2},\quad \operatorname{area}(E_1)=\frac{3}{2},\quad \operatorname{area}(E_2)=\frac{3}{2},\quad \operatorname{area}(E_3)=\frac{1}{2}.

Passo 5

Agora calcule a soma ponderada
\iint_{D}\lfloor x+y\rfloor\,dx\,dy =\sum_{k=0}^{3} k\cdot \operatorname{area}(E_k) =0\cdot\frac{1}{2}+1\cdot\frac{3}{2}+2\cdot\frac{3}{2}+3\cdot\frac{1}{2}.
Efetuando as multiplicações e somas:
1\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{2},\qquad 2\cdot\frac{3}{2}=\frac{6}{2}=3,\qquad 3\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.
Somando:
\frac{3}{2}+3+\frac{3}{2}=\frac{3+6+3}{2}=\frac{12}{2}=6.

Passo 6

Comentário final para a prova (dica prática): dividir a região conforme os níveis inteiros da soma x+y e usar áreas é muito mais rápido do que integrar diretamente a função piso. As linhas x+y=k cortam o quadrado em triângulos/troncos de triângulo cujas áreas são fáceis de obter.

Resposta

6

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