Calcule a integral
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
. Aqui a notação
será entendida como a função piso (greatest integer function), isto é, para qualquer real
,
Informações dadas e observações imediatas:
- A região
é o quadrado . - Para
tem-se . - Logo
só pode assumir os valores quase em todo (os pontos onde é inteiro formam conjunto de medida zero e não afetam a integral).
O que se pede: o valor numérico da integral dupla acima.
Passo 2
Ideia útil (explicada didaticamente): a função
é constante em cada conjunto
Quando uma função é constante valendo
em uma região
, sua contribuição para a integral dupla é
vezes a área de
. Portanto podemos escrever
Explicando a fórmula: a integral sobre
de uma função constante
vale
área de
. Somando sobre os quatro níveis obtemos a integral total.
Passo 3
Vamos calcular as áreas
. Uma maneira eficiente é usar a função
ou seja, a área do conjunto sob a reta
dentro do quadrado
. Então
Agora obtenha
por análise geométrica, lembrando que
:
- Se
, a interseção com o quadrado é um triângulo retângulo cujos catetos têm comprimento . Logo
(Raciocínio: área triângulo = base·altura/2 =
.)
- Se
, o conjunto ocupa quase todo o quadrado, faltando um pequeno triângulo no canto superior direito de catetos de comprimento . Assim
(Área total do quadrado é
.)
Passo 4
Calcule agora
para cada
.
Para
:
Para
:
Para
:
Aqui usa a fórmula da faixa
:
Aqui
E
. Portanto
Para
:
Resumo das áreas:
Passo 5
Agora calcule a soma ponderada
Efetuando as multiplicações e somas:
Somando:
Passo 6
Comentário final para a prova (dica prática): dividir a região conforme os níveis inteiros da soma
e usar áreas é muito mais rápido do que integrar diretamente a função piso. As linhas
cortam o quadrado em triângulos/troncos de triângulo cujas áreas são fáceis de obter.