Calcule a integral \iint_{S} y d S, sendo S é a superfície z=x+y^{2} \operatorname{com} 0 \leq x \leq 1 e 0 \leq y \leq 2. Resposta: \frac{13}{3} \sqrt{2}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de superfície
\iint_{S} y \,dS
onde S é dada por
z = x + y^2,
com \;0 \le x \le 1 e \;0 \le y \le 2.
Para resolver, vamos usar a parametrização natural em termos de (x,y) e a fórmula
dS = \sqrt{1 + \Bigl(\frac{\partial z}{\partial x}\Bigr)^{2} + \Bigl(\frac{\partial z}{\partial y}\Bigr)^{2}}\;dA.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de z(x,y):
\frac{\partial z}{\partial x} = 1, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = 2y.
Logo o fator de correção da área é \sqrt{1 + 1^{2} + (2y)^{2}} = \sqrt{2 + 4y^{2}}. Assim o elemento de área sobre S vale
dS = \sqrt{2 + 4y^{2}}\;dx\,dy.

Passo 3

A integral de superfície vira uma integral dupla sobre o retângulo em x,y:
\iint_{S} y\,dS = \int_{y=0}^{2}\int_{x=0}^{1} y\,\sqrt{2 + 4y^{2}}\;dx\,dy.
Note que o integrando não depende de x, então a integração em x de 0 a 1 só dá fator 1.

Passo 4

Ficamos com
\int_{0}^{2} y\,\sqrt{2 + 4y^{2}}\;dy.
Para calcular, fazemos a substituição
u = 2 + 4y^{2}, \quad du = 8y\,dy \;\Longrightarrow\; y\,dy = \frac{du}{8}.
Quando y=0, u=2; quando y=2, u=18. Portanto
\int_{0}^{2} y\,\sqrt{2 + 4y^{2}}\,dy = \int_{u=2}^{18} \sqrt{u}\,\frac{du}{8} = \frac{1}{8}\int_{2}^{18} u^{\tfrac12}\,du.

Passo 5

Integramos u^{1/2}:
\frac{1}{8}\int_{2}^{18} u^{\tfrac12}\,du = \frac{1}{8}\cdot \frac{2}{3}\Bigl[u^{\tfrac32}\Bigr]_{2}^{18} = \frac{1}{12}\bigl(18^{\tfrac32}-2^{\tfrac32}\bigr).
Como \sqrt{18}=3\sqrt2 e \sqrt{2}^{\;3}=2\sqrt2, temos
18^{\tfrac32} = (3\sqrt2)^{3} = 54\sqrt2, \quad 2^{\tfrac32} = 2\sqrt2,
logo
\frac{1}{12}\bigl(54\sqrt2 - 2\sqrt2\bigr) = \frac{52}{12}\sqrt2 = \frac{13}{3}\sqrt2.

Resposta

\frac{13}{3}\sqrt{2}

Exercícios relacionados