Resolva a equação diferencial.
\left(y \cos x+2 x e^{y}\right)+\left(\operatorname{sen} x+x^{2} e^{y}-1\right) \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\bigl(y\cos x + 2x e^{y}\bigr) \;+\;\bigl(\sin x + x^{2}e^{y}-1\bigr)\,\frac{dy}{dx}=0
e pede a sua solução geral. Reconhecemos que ela pode ser escrita na forma
M(x,y)+N(x,y)\,\frac{dy}{dx}=0
e vamos verificar se é uma equação exata.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=y\cos x+2x e^{y}, \quad N(x,y)=\sin x + x^{2}e^{y}-1.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} =\cos x+2x e^{y}, \quad \frac{\partial N}{\partial x} =\cos x+2x e^{y}.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=M(x,y).
Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
\varphi(x,y) =\int\bigl(y\cos x+2x e^{y}\bigr)\,dx =y\sin x + x^{2}e^{y} + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Agora exigimos
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=N(x,y).
Calculamos
\frac{\partial \varphi}{\partial y} =\sin x + x^{2}e^{y} + h'(y)
e igualamos a N(x,y)=\sin x + x^{2}e^{y}-1. Logo
\sin x + x^{2}e^{y} + h'(y) =\sin x + x^{2}e^{y}-1 \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=-1
e assim h(y)=-y (mais constante).

Passo 5

Substituindo h(y)=-y em \varphi, obtemos a função potencial
\varphi(x,y)=y\sin x + x^{2}e^{y}-y.
A solução geral da equação exata é
\varphi(x,y)=C,
ou seja,
y\sin x + x^{2}e^{y} - y = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

y\sin x + x^{2}e^{y} - y = C.

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