Seja S uma superfície exterior do paraboloide \vec{r}(x, y)=\left(x, y, x^{2}+y^{2}\right), \operatorname{com}(x, y) \in D, D= \left\{(x, y) ; x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}. Determinar a \iint_{S} \vec{f} \cdot \vec{n} d S, sendo \vec{f} o campo vetorial dado por \vec{f}=(3 x, 3 y,-3 z).

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo \vec f=(3x,3y,-3z) pela superfície S do paraboloide
\vec r(x,y) = \bigl(x,y,x^2+y^2\bigr),
com (x,y) em D=\{x^2+y^2\le4\}, e com a normal apontando para fora do “volume” sob o paraboloide. Vamos usar parametrização e produto vetorial para obter \vec n\,dS e depois integrar em coordenadas polares.

Passo 2

Parametrizamos
\vec r(x,y) = (x,y,x^2+y^2),\quad (x,y)\in D.
Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial\vec r}{\partial x} = (1,0,2x), \qquad \frac{\partial\vec r}{\partial y} = (0,1,2y).
O produto vetorial fornece a “área vetorial” com a orientação que tem componente k positiva:
\frac{\partial\vec r}{\partial x}\times\frac{\partial\vec r}{\partial y} = (-2x,\,-2y,\,1).
Como queremos a normal voltada para fora do volume que fica acima do paraboloide, invertemos o sinal e obtemos
\vec n\,dS = (2x,\,2y,\,-1)\,dA.

Passo 3

Em cada ponto da superfície, z=x^2+y^2, logo
\vec f\bigl(x,y,x^2+y^2\bigr) = \bigl(3x,\;3y,\;-3(x^2+y^2)\bigr).
O produto escalar é
\vec f\cdot(\vec n\,dS) = \bigl(3x,3y,-3(x^2+y^2)\bigr)\cdot(2x,2y,-1)\,dA = \bigl(6x^2+6y^2+3(x^2+y^2)\bigr)\,dA =9(x^2+y^2)\,dA.

Passo 4

Passamos a coordenadas polares: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, x^2+y^2=r^2, dA=r\,dr\,d\theta, com 0\le r\le2, 0\le\theta\le2\pi. Então
\iint_S\vec f\cdot\vec n\,dS =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2} 9r^2\,(r\,dr\,d\theta) =9\int_{0}^{2\pi}\!d\theta\;\int_{0}^{2}r^3\,dr =9\cdot2\pi\cdot\frac{2^4}{4} =72\pi.

Resposta

\iint_{S}\vec f\cdot\vec n\,dS = 72\pi.

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