Seja
uma superfície exterior do paraboloide
. Determinar a
, sendo
o campo vetorial dado por
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo
pela superfície
do paraboloide
com
em
, e com a normal apontando para fora do “volume” sob o paraboloide. Vamos usar parametrização e produto vetorial para obter
e depois integrar em coordenadas polares.
Passo 2
Parametrizamos
Calculamos as derivadas parciais
O produto vetorial fornece a “área vetorial” com a orientação que tem componente
positiva:
Como queremos a normal voltada para fora do volume que fica acima do paraboloide, invertemos o sinal e obtemos
Passo 3
Em cada ponto da superfície,
, logo
O produto escalar é
Passo 4
Passamos a coordenadas polares:
,
,
,
, com
,
. Então