Calcule a integral de linha \int_{C} 3 x y d s, sendo C o triângulo de vértices A(0,0), B(1,0) e C(1,2). Resposta: 6+2 \sqrt{5}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha \displaystyle \int_{C}3\,x\,y\,ds
onde C é o contorno do triângulo de vértices A(0,0), B(1,0) e C(1,2).
Para isso vamos usar a definição de integral de linha de função escalar \displaystyle \int_{C}f(x,y)\,ds,
que, ao parametrizar cada segmento por t, fica
ds=\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\;dt.
Dividimos C em três segmentos: AB, BC e CA.

Passo 2

Segmento AB de A(0,0) a B(1,0).
Parametrização: \displaystyle x=t,\;y=0,\;0\le t\le1.
Então
\frac{dx}{dt}=1,\quad \frac{dy}{dt}=0 \quad\Longrightarrow\quad ds=\sqrt{1^{2}+0^{2}}\;dt=dt,
e a integranda \displaystyle 3\,x\,y=3\,t\cdot0=0.
Logo
\int_{AB}3\,x\,y\,ds =\int_{0}^{1}0\;dt=0.

Passo 3

Segmento BC de B(1,0) a C(1,2).
Parametrização: \displaystyle x=1,\;y=t,\;0\le t\le2.
Calculamos
\frac{dx}{dt}=0,\quad \frac{dy}{dt}=1 \quad\Longrightarrow\quad ds=\sqrt{0^{2}+1^{2}}\;dt=dt,
e \displaystyle 3\,x\,y=3\cdot1\cdot t=3t.
Portanto
\int_{BC}3\,x\,y\,ds =\int_{0}^{2}3t\;dt =3\cdot\frac{t^{2}}{2}\Big|_{0}^{2} =3\cdot\frac{4}{2} =6.

Passo 4

Segmento CA de C(1,2) a A(0,0).
Parametrização: \displaystyle x=1-t,\;y=2-2t,\;0\le t\le1.
Então
\frac{dx}{dt}=-1,\quad \frac{dy}{dt}=-2 \quad\Longrightarrow\quad ds=\sqrt{(-1)^{2}+(-2)^{2}}\;dt =\sqrt{5}\;dt.
A integranda é
3\,x\,y =3\,(1-t)(2-2t) =3\bigl(2-4t+2t^{2}\bigr) =6-12t+6t^{2}.
Logo
\int_{CA}3\,x\,y\,ds =\int_{0}^{1}(6-12t+6t^{2})\,\sqrt{5}\;dt =\sqrt{5}\Bigl[6t-6t^{2}+2t^{3}\Bigr]_{0}^{1} =\sqrt{5}\cdot2 =2\sqrt{5}.

Passo 5

Somando as contribuições de cada lado:
0+6+2\sqrt{5}=6+2\sqrt{5}.

Resposta

6+2\sqrt{5}

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