2.5 4. Calcule a integral \iint_{\sigma} f(x, y, z) d S, onde f(x, y, z)=\frac{x}{\sqrt{1+4 x^{2}+4 y^{2}}} e \sigma é a superficie z=1-x^{2}-y^{2}, com 0 \leq x \leq 1 e 0 \leq y \leq x^{2}.
Passo 1
O enunciado pede a integral de superfície
\iint_{\sigma} f(x,y,z)\,dS
onde f(x,y,z)=\frac{x}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}} e \sigma é o gráfico da função
z=g(x,y)=1 - x^2 - y^2
sobre a região do plano (x,y) definida por
0 \le x \le 1,\quad 0 \le y \le x^2.
O conteúdo é integral de superfície de função escalar sobre um gráfico, e vamos usar a projeção no plano xy.
Passo 2
Para um gráfico z=g(x,y), a fórmula da integral de superfície é