2.5 4. Calcule a integral \iint_{\sigma} f(x, y, z) d S, onde f(x, y, z)=\frac{x}{\sqrt{1+4 x^{2}+4 y^{2}}} e \sigma é a superficie z=1-x^{2}-y^{2}, com 0 \leq x \leq 1 e 0 \leq y \leq x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície
\iint_{\sigma} f(x,y,z)\,dS
onde f(x,y,z)=\frac{x}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}} e \sigma é o gráfico da função
z=g(x,y)=1 - x^2 - y^2
sobre a região do plano (x,y) definida por
0 \le x \le 1,\quad 0 \le y \le x^2.
O conteúdo é integral de superfície de função escalar sobre um gráfico, e vamos usar a projeção no plano xy.

Passo 2

Para um gráfico z=g(x,y), a fórmula da integral de superfície é
\iint_{\sigma} f(x,y,z)\,dS =\iint_{D} f\bigl(x,y,g(x,y)\bigr)\,\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\;dA,
onde D é a projeção de \sigma no plano xy. Aqui
g_x = \frac{\partial}{\partial x}(1 - x^2 - y^2)=-2x, \quad g_y = \frac{\partial}{\partial y}(1 - x^2 - y^2)=-2y.

Passo 3

Calculamos o fator de correção da área:
\sqrt{1+g_x^2+g_y^2} =\sqrt{1+(-2x)^2+(-2y)^2} =\sqrt{1+4x^2+4y^2}.
Logo, dentro da integral fica
f\bigl(x,y,g(x,y)\bigr)\,\sqrt{1+g_x^2+g_y^2} =\frac{x}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}}\;\sqrt{1+4x^2+4y^2} =x.

Passo 4

Portanto a integral de superfície reduz-se a
\iint_{\sigma}f\,dS =\iint_{D} x\;dA
com D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le x^2\}. Escrevendo em iterada:
\int_{x=0}^{1}\!\!\int_{y=0}^{x^2} x\;dy\,dx.

Passo 5

Primeiro integramos em y:
\int_{y=0}^{x^2}x\,dy =x\bigl[y\bigr]_{0}^{x^2} =x\cdot x^2 =x^3.
Agora em x:
\int_{0}^{1}x^3\,dx =\left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}

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