Determine dois pares de coordenadas polares, com r de sinais opostos, para os pontos com as seguintes coordenadas cartesianas:
(\sqrt{3}, 1);

Passo 1

Temos o ponto cujas coordenadas cartesianas são (\sqrt{3},1). Queremos convertê-lo em coordenadas polares (r,\theta), sabendo que
r = \sqrt{x^2+y^2}
e
\tan\theta = \frac{y}{x}
e depois encontrar um segundo par com r de sinal oposto.

Passo 2

Calcular o módulo r:
r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2.

Passo 3

Calcular o ângulo \theta:
\tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}},
e como x>0 e y>0 estamos no primeiro quadrante, logo
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) = \frac{\pi}{6}.

Passo 4

O par polar principal é
(r,\theta) = \bigl(2,\frac{\pi}{6}\bigr).
Para obter outro par com r de sinal oposto, basta adicionar \pi a \theta e trocar o sinal de r:
(r,\theta) = \bigl(-2,\frac{\pi}{6} + \pi\bigr) = \bigl(-2,\frac{7\pi}{6}\bigr).

Resposta

\displaystyle (2,\tfrac{\pi}{6})
\displaystyle (-2,\tfrac{7\pi}{6})

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