Determine dois pares de coordenadas polares, com r de sinais opostos, para os pontos com as seguintes coordenadas cartesianas:
(4,0);

Passo 1

O enunciado pede dois pares de coordenadas polares (r,\theta) para o ponto de coordenadas cartesianas (4,0), de modo que em um par tenhamos r>0 e no outro r<0. Para converter usamos
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta.

Passo 2

Para escolher r>0, basta tomar r=4. Como queremos (x,y)=(4,0), precisamos de
\cos\theta = 1, \quad \sin\theta = 0,
o que ocorre em \theta=0 (mod 2\pi). Assim um par válido é
(r,\theta) = (4,0).

Passo 3

Para escolher r<0, note que mudar o sinal de r corresponde a adicionar \pi ao ângulo. Tomando r=-4 e
\theta = 0 + \pi = \pi,
verificamos
x = (-4)\cos\pi = (-4)(-1) = 4, \quad y = (-4)\sin\pi = 0,
ou seja, chegamos de novo em (4,0). Logo outro par é
(r,\theta) = (-4,\pi).

Resposta

(4,0)
(-4,\pi)

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