(2,0 ponto) Classifique cada afirmação abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F). Cada resposta errada anula uma resposta correta. Respostas em branco são ignoradas, ou seja, não somam nem subtraem ponto.
(a) Seja M uma matriz quadrada idempotente, ou seja, M^{2}=M. Se M for invertível, então M é a matriz identidade.
(b) Seja A uma matriz quadrada. Então existe uma matriz B tal que B A=2 A.
(c) Lembrando que uma matriz de permutação é uma matriz quadrada, cujas entradas são números 0 ou 1 e tal que em cada linha e em cada coluna há exatamente um número 1 , pode-se afirmar que a soma de matrizes de permutação de mesma ordem é uma matriz de permutação.
(d) Lembrando que uma matriz de permutação é uma matriz quadrada, cujas entradas são números 0 ou 1 e tal que em cada linha e em cada coluna há exatamente um número 1 , pode-se afirmar que o produto de matrizes de permutação de mesma ordem é uma matriz de permutação.
(e) Sejam y e \varepsilon matrizes n \times 1, \beta uma matriz k \times 1 e X uma matriz n \times k. Se X^{\prime} \varepsilon=\mathbf{0}, onde 0 é uma matriz n \times 1 de zeros, então y=X \beta+\varepsilon implica que \beta=\left(X^{\prime} X\right)^{-1}\left(X^{\prime} y\right).
(f) Se uma matriz é idempotente, então ela é singular.
(g) Seja A uma matriz triangular de ordem n \times n, então A A^{\prime} é simétrica.
(h) Seja A uma matriz invertível e A^{-1} sua inversa, então \operatorname{det}\left(A^{-1}\right)=1 / \operatorname{det}(A).
(i) Toda matriz diagonal é singular.
(j) Um sistema de equações lineares com matriz de coeficientes A e matriz aumentada \hat{A} possui solução se e somente \operatorname{se} \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}(\hat{A}).

Passo 1

O enunciado pede para classificar como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma de dez afirmações envolvendo propriedades de matrizes (idempotentes, permutação, invertibilidade, determinante, consistência de sistemas lineares etc.). Vamos aplicar definições e teoremas básicos de álgebra linear para cada caso.

Passo 2

(a) Seja M^2=M e M invertível. Multiplicando em M^2=M pela esquerda por M^{-1} obtemos
M = I.
Logo, a afirmação é verdadeira.

Passo 3

(b) Dada qualquer matriz quadrada A, basta escolher B=2I. Então
BA = 2I\,A = 2A.
Logo, existe matriz B satisfazendo BA=2A. A afirmação é verdadeira.

Passo 4

(c) A soma de duas matrizes de permutação normalmente gera linhas (ou colunas) com mais de um 1, violando a definição de matriz de permutação. Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 5

(d) O produto de duas matrizes de permutação corresponde à composição de duas permutações, que é novamente uma permutação. Logo, o produto é uma matriz de permutação. A afirmação é verdadeira.

Passo 6

(e) Se y = X\beta + \varepsilon e X'\varepsilon = 0, então
X'y = X'(X\beta + \varepsilon) = X'X\,\beta + X'\varepsilon = X'X\,\beta.
Assumindo X'X invertível, isola-se
\beta = (X'X)^{-1}(X'y).
A afirmação é verdadeira.

Passo 7

(f) Se M é idempotente então seus autovalores \lambda satisfazem \lambda^2=\lambda, ou seja, \lambda\in\{0,1\}. Um idempotente só é invertível quando todos os autovalores são 1, o que ocorre apenas se M=I. Como há idempotentes não-singulares ( I), a afirmação “todo idempotente é singular” é falsa.

Passo 8

(g) Para qualquer matriz A,
(AA')' = (A')'\,A' = A\,A' = AA',
logo AA' é simétrica. A afirmação é verdadeira.

Passo 9

(h) É propriedade padrão de determinantes que
\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}.
A afirmação é verdadeira.

Passo 10

(i) Uma matriz diagonal é singular se e somente se pelo menos uma entrada da diagonal for zero. Há muitas diagonais com todas entradas não-zero e, portanto, invertíveis. Assim, “toda matriz diagonal é singular” é falsa.

Passo 11

(j) Um sistema A\,x=b é consistente (tem solução) se e somente se
\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(\hat A),
onde \hat A é a matriz aumentada. A condição \operatorname{rank}(A) < \operatorname{rank}(\hat A) caracteriza sistemas inconsistentes. Logo, a afirmação é falsa.

Resposta

(a) V
(b) V
(c) F
(d) V
(e) V
(f) F
(g) V
(h) V
(i) F
(j) F

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