(2,0 ponto) Classifique cada afirmação abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F). Cada resposta errada anula uma resposta correta. Respostas em branco são ignoradas, ou seja, não somam nem subtraem ponto.
(a) Seja
uma matriz quadrada idempotente, ou seja,
. Se
for invertível, então
é a matriz identidade.
(b) Seja
uma matriz quadrada. Então existe uma matriz
tal que
.
(c) Lembrando que uma matriz de permutação é uma matriz quadrada, cujas entradas são números 0 ou 1 e tal que em cada linha e em cada coluna há exatamente um número 1 , pode-se afirmar que a soma de matrizes de permutação de mesma ordem é uma matriz de permutação.
(d) Lembrando que uma matriz de permutação é uma matriz quadrada, cujas entradas são números 0 ou 1 e tal que em cada linha e em cada coluna há exatamente um número 1 , pode-se afirmar que o produto de matrizes de permutação de mesma ordem é uma matriz de permutação.
(e) Sejam
e
matrizes
uma matriz
e
uma matriz
. Se
, onde 0 é uma matriz
de zeros, então
implica que
.
(f) Se uma matriz é idempotente, então ela é singular.
(g) Seja
uma matriz triangular de ordem
, então
é simétrica.
(h) Seja
uma matriz invertível e
sua inversa, então
.
(i) Toda matriz diagonal é singular.
(j) Um sistema de equações lineares com matriz de coeficientes
e matriz aumentada
possui solução se e somente
.
(a) Seja
(b) Seja
(c) Lembrando que uma matriz de permutação é uma matriz quadrada, cujas entradas são números 0 ou 1 e tal que em cada linha e em cada coluna há exatamente um número 1 , pode-se afirmar que a soma de matrizes de permutação de mesma ordem é uma matriz de permutação.
(d) Lembrando que uma matriz de permutação é uma matriz quadrada, cujas entradas são números 0 ou 1 e tal que em cada linha e em cada coluna há exatamente um número 1 , pode-se afirmar que o produto de matrizes de permutação de mesma ordem é uma matriz de permutação.
(e) Sejam
(f) Se uma matriz é idempotente, então ela é singular.
(g) Seja
(h) Seja
(i) Toda matriz diagonal é singular.
(j) Um sistema de equações lineares com matriz de coeficientes
Passo 1
O enunciado pede para classificar como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma de dez afirmações envolvendo propriedades de matrizes (idempotentes, permutação, invertibilidade, determinante, consistência de sistemas lineares etc.). Vamos aplicar definições e teoremas básicos de álgebra linear para cada caso.
Passo 2
(a) Seja
e
invertível. Multiplicando em
pela esquerda por
obtemos
Logo, a afirmação é verdadeira.
Passo 3
(b) Dada qualquer matriz quadrada
, basta escolher
. Então
Logo, existe matriz
satisfazendo
. A afirmação é verdadeira.
Passo 4
(c) A soma de duas matrizes de permutação normalmente gera linhas (ou colunas) com mais de um 1, violando a definição de matriz de permutação. Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 5
(d) O produto de duas matrizes de permutação corresponde à composição de duas permutações, que é novamente uma permutação. Logo, o produto é uma matriz de permutação. A afirmação é verdadeira.
Passo 6
(e) Se
e
, então
Assumindo
invertível, isola-se
A afirmação é verdadeira.
Passo 7
(f) Se
é idempotente então seus autovalores
satisfazem
, ou seja,
. Um idempotente só é invertível quando todos os autovalores são 1, o que ocorre apenas se
. Como há idempotentes não-singulares (
), a afirmação “todo idempotente é singular” é falsa.
Passo 8
(g) Para qualquer matriz
,
logo
é simétrica. A afirmação é verdadeira.
Passo 9
(h) É propriedade padrão de determinantes que
A afirmação é verdadeira.
Passo 10
(i) Uma matriz diagonal é singular se e somente se pelo menos uma entrada da diagonal for zero. Há muitas diagonais com todas entradas não-zero e, portanto, invertíveis. Assim, “toda matriz diagonal é singular” é falsa.
Passo 11
(j) Um sistema
é consistente (tem solução) se e somente se
onde
é a matriz aumentada. A condição
caracteriza sistemas inconsistentes. Logo, a afirmação é falsa.
Resposta
(a) V
(b) V
(c) F
(d) V
(e) V
(f) F
(g) V
(h) V
(i) F
(j) F
(b) V
(c) F
(d) V
(e) V
(f) F
(g) V
(h) V
(i) F
(j) F