Calcule a Integral Impropia
integral0^2pi 1x^2 sen(1x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral0^2pi 1x^2sen!l(1xr),dx
que é imprópria porque, ao aproximar xto0^+, o integrando explode como 1/x^2. Para resolver, vamos usar uma substituição que transforme esse comportamento singular em um limite de integração infinito, e depois testar a convergência desse novo integral.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
t = 1x,
logo
dt = -1x^2,dx Longrightarrow 1x^2,dx = -,dt
Quando x vai de 0^+ até tfrac2pi, t varia de +infty até tfracpi2. Substituindo na integral, obtemos
integral0^2pi 1x^2sen!l(1xr),dx =integralinfty^pi2 sen(t),(-dt) =integralpi2^inftysen(t),dt

Passo 3

Calculamos a integral indefinida parcial até um ponto R:
integralpi2^Rsen(t),dt =l[-cos(t)r]t=pi2^t=R =-cos(R)-l(-cos(tfracpi2)r) =-cos(R)-0 =-cos(R)

Passo 4

Para a convergência da integral imprópria, examinamos o limite
limRtoinftyl(-cos(R)r)
Como cos(R) oscila entre -1 e 1 quando Rtoinfty, esse limite não existe. Logo,
integralpi2^inftysen(t),dt
não converge, e portanto a integral original também diverge.

Resposta

A integral diverge (não converge).

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