Encontre a solução geral da equação diferencial dada. No Problema f, g é uma função contínua arbitrária.
y^prime prime+y=tan t, 0<t<pi / 2

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos resolver a EDO
y'' + y = tan t, 0<t<tfracpi2,
que é uma equação linear de segunda ordem não homogênea. A solução geral será
y(t)=yh(t)+yp(t),
onde yh resolve a homogênea y''+y=0 e yp é uma solução particular para o termo tan t. Usaremos o método de variação de parâmetros.

Passo 2

Começamos encontrando a solução geral da homogênea
y'' + y = 0
A equação característica é r^2+1=0, cujas raízes são r=pm i. Portanto
yh(t)=C1cos t + C2sin t

Passo 3

Para variação de parâmetros tomamos como soluções fundamentais da homogênea
y1(t)=cos t, y2(t)=sin t
e calculamos o Wronskiano
W(t)= cos t & sin t -sin t & cos t =cos^2t+sin^2t=1

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros são
u1' = -f(t),y2(t)W(t), u2' = f(t),y1(t)W(t),
com f(t)=tan t. Logo
u1'(t) = -tan t;sin t = -sin^2tcos t, u2'(t) = tan t;cos t = sin t

Passo 5

Integramos para obter u1 e u2:
u1(t)=integrall(-tfracsin^2tcos tr),dt =integrall(-sec t+cos tr),dt =-lnl|sec t+tan tr|+sin t,
u2(t)=integralsin t,dt=-cos t

Passo 6

A solução particular fica
yp(t)=u1(t),y1(t)+u2(t),y2(t) =l(-ln|sec t+tan t|+sin tr)cos t +(-cos t)sin t
Simplificando
yp(t)=-cos tlnl|sec t+tan tr|+sin tcos t-sin tcos t =-cos tlnl|sec t+tan tr|

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(t)=C1cos t + C2sin t ;-;cos tlnl|sec t+tan tr|

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