Encontre a solução geral da equação diferencial dada. No Problema f, g é uma função contínua arbitrária.
y^prime prime+y=2 sec (t / 2), -pi<t<pi

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de segunda ordem
y'' + y = 2sec!l(tfrac t2r), -pi<t<pi,
onde a função do segundo membro é contínua em (-π,π). Vamos usar teoria de equações lineares não homogêneas.

Passo 2

Resolvem-se primeiramente as soluções da homogênea associada
y'' + y = 0
Duas soluções fundamentais são
y1(t)=cos t, y2(t)=sin t,
portanto
yh(t)=C1cos t + C2sin t

Passo 3

Para obter uma solução particular usamos o método de variação de parâmetros. A fórmula é
yp=-y1(t)integraly2(t),f(t)W(t),dt ;+;y2(t)integraly1(t),f(t)W(t),dt,
onde f(t)=2secl(tfrac t2r) e o Wronskiano
W=y1y2'-y1'y2=1

Passo 4

Calculamos
I1=integral y2(t),f(t),dt =2integralsin tcos(t/2),dt =2integral2sin(tfrac t2)cos(tfrac t2)cos(tfrac t2),dt =4integralsinl(tfrac t2r),dt =-8cosl(tfrac t2r)

Passo 5

Em seguida
I2=integral y1(t),f(t),dt =2integralcos tcos(t/2),dt
Usando as identidades de meio-ângulo e organizando, chega-se a
I2 =8sinl(tfrac t2r) -4ln!llvertsecl(tfrac t2r)+tanl(tfrac t2r)rrvert

Passo 6

Substituindo em variação de parâmetros,
yp =-cos t,(I1)+sin t,(I2) =8cos tcos!l(tfrac t2r) +sin tl(8sin!l(tfrac t2r) -4ln!lvertsec(tfrac t2)+tan(tfrac t2)rvertr)
Como
cos tcos(tfrac t2)+sin tsin(tfrac t2)=cos(tfrac t2), segue
yp =8cos!l(tfrac t2r) -4sin t, ln!llvertsecl(tfrac t2r)+tanl(tfrac t2r)rrvert

Resposta

A solução geral da EDO é
y(t)=C1cos t + C2sin t +8cos!l(tfrac t2r) -4sin t, ln!llvertsecl(tfrac t2r)+tanl(tfrac t2r)rrvert

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