Encontre a solução geral da equação diferencial dada. No Problema f,
é uma função contínua arbitrária.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO linear de segunda ordem
onde a função do segundo membro é contínua em
. Vamos usar teoria de equações lineares não homogêneas.
Passo 2
Resolvem-se primeiramente as soluções da homogênea associada
Duas soluções fundamentais são
portanto
Passo 3
Para obter uma solução particular usamos o método de variação de parâmetros. A fórmula é
onde
e o Wronskiano
Passo 4
Calculamos
Passo 5
Em seguida
Usando as identidades de meio-ângulo e organizando, chega-se a
Passo 6
Substituindo em variação de parâmetros,
Como
cos tcos(tfrac t2)+sin tsin(tfrac t2)=cos(tfrac t2) , segue
Resposta
A solução geral da EDO é