Calcule se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.
h) integral-infty^0 x e^x d x

Passo 1

Temos a integral imprópria integral-infty^0 x e^x,dx. O conteúdo aqui é integral imprópria e vamos usar a definição de limite de integrais impróprias, além de técnica de integração por partes.

Passo 2

Escrevemos a integral como limite:
integral-infty^0 x e^x,dx = limato -infty integrala^0 x e^x,dx
Para verificar a convergência, é importante observar o comportamento de x e^x quando xto -infty: como e^x decai muito mais rápido que x cresce em módulo, espera-se que o termo de limite vá a zero.

Passo 3

Fazendo a integral indefinida por partes: escolhemos u = x e dv = e^xdx, então du = dx e v = e^x. Logo,
integral x e^x,dx = x e^x - integral e^x,dx = x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C

Passo 4

Agora avaliamos o limite:
integral-infty^0 x e^x,dx = limato -infty l[e^x(x - 1)r]x=a^x=0 = e^0(0-1) - limato -infty e^a(a - 1)
Como
limato -infty e^a(a - 1) = 0,
seguimos que a integral é convergente.

Resposta

Convergente, e o valor da integral é -1.

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