Utilize transformada de Laplace para resolver a equação ux x=ut t onde x>0 e t>0 sujeita às condições:
ux(0, t)=u(0, t) lim x infty u(x, t)=u0 u(x, 0)=u0 ut(x, 0)=0

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a equação de onda unidimensional uxx=utt em x>0, t>0, sujeita às condições de contorno e iniciais dadas, usando a transformada de Laplace no tempo. Vamos precisar usar propriedades de Laplace, resolver a EDO resultante em x e depois inverter a transformada.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em t: definimos U(x,s)= Lu(x,t)=integral0^infty e^-stu(x,t),dt. Como Lutt=s^2U - s,u(x,0)-ut(x,0) e u(x,0)=u0, ut(x,0)=0, a PDE vira
Uxx(x,s)=s^2U(x,s)-s,u0

Passo 3

Essa é uma EDO em x. Reescrevendo:
Uxx-s^2U=-s,u0

Passo 4

A solução geral é soma da homogênea e de uma particular constante:
U(x,s)=A(s)e^s x+B(s)e^-s x+u0s

Passo 5

Agora uso as condições de contorno transformadas. Como u(x,t)to u0 quando xtoinfty, temos U(x,s)to u0/s. Para evitar divergência de e^s x ( Re s>0), forçamos A(s)=0. Logo
U(x,s)=B(s)e^-s x+u0s

Passo 6

Em x=0 a condição é ux(0,t)=u(0,t). No domínio de s isso dá Ux(0,s)=U(0,s). Como Ux=-sB e^-s x, em x=0
-sB(s)=B(s)+u0s

Passo 7

Resolvendo para B(s):
B(s)=-u0s(s+1)

Passo 8

Portanto
U(x,s)=u0s-u0s(s+1)e^-s x

Passo 9

Para inverter, escrevemos
1s(s+1)=1s-1s+1, e assim
U(x,s)=u0l(1s-e^-s xsr)+u0e^-s xs+1

Passo 10

Aplicando a inversa: L^-1[1/s]=1, L^-1[e^-s x/s]=H(t-x) e L^-1[e^-s x/(s+1)]=e^-(t-x)H(t-x). Assim obtemos a solução em tempo:
u(x,t)=u0l[1-H(t-x)r]+u0e^-(t-x)H(t-x)

Resposta

u(x,t)= u0, & 0<= t= x

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