Utilize transformada de Laplace para resolver a equação
onde
e
sujeita às condições:
Passo 1
O enunciado pede pra resolver a equação de onda unidimensional
em
, sujeita às condições de contorno e iniciais dadas, usando a transformada de Laplace no tempo. Vamos precisar usar propriedades de Laplace, resolver a EDO resultante em
e depois inverter a transformada.
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace em
: definimos
. Como
e
,
, a PDE vira
Passo 3
Essa é uma EDO em
. Reescrevendo:
Passo 4
A solução geral é soma da homogênea e de uma particular constante:
Passo 5
Agora uso as condições de contorno transformadas. Como
quando
, temos
. Para evitar divergência de
(
), forçamos
. Logo
Passo 6
Em
a condição é
. No domínio de
isso dá
. Como
, em
Passo 7
Resolvendo para
:
Passo 8
Portanto
Passo 9
Para inverter, escrevemos
Passo 10
Aplicando a inversa:
,
e
. Assim obtemos a solução em tempo: