Utilize transformada de Laplace para resolver a equação
onde
e
sujeita às condições:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação da onda unidimensional
em
usando transformada de Laplace no tempo, sujeita às condições de contorno
,
e condições iniciais
,
. Vamos usar a transformada de Laplace em
e inverter depois para achar
.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em
definindo
. Como
e
,
, obtemos a ODE em
:
Passo 3
Resolvendo a ODE, a solução geral é soma da homogênea e de uma particular. A parte homogênea resolve
dando
e para a solução particular tentamos
Passo 4
Agora impomos as condições de contorno no domínio de
: em
temos
, logo
Como
Passo 5
Invertendo a transformada usando
e
, obtemos
Resposta
u(x,t)=u_1 x+u_0,H(t-x)