Utilize transformada de Laplace para resolver a equação ux x=ut t onde x>0 e t>0 sujeita às condições:
u(0, t)=u0 lim x infty u(x, t)x=u1 u(x, 0)=u1 x ut(x, 0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação da onda unidimensional uxx=utt em x>0, t>0 usando transformada de Laplace no tempo, sujeita às condições de contorno u(0,t)=u0, limxtoinftyu(x,t)/x=u1 e condições iniciais u(x,0)=u1x, ut(x,0)=0. Vamos usar a transformada de Laplace em t e inverter depois para achar u(x,t).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em t definindo U(x,s)=Lu(x,t). Como Lutt=s^2U - s,u(x,0) - ut(x,0) e u(x,0)=u1x, ut(x,0)=0, obtemos a ODE em x:
Uxx(x,s) = s^2U(x,s) - s,u1x

Passo 3

Resolvendo a ODE, a solução geral é soma da homogênea e de uma particular. A parte homogênea resolve Uxx-s^2U=0 dando
Uh = A(s)e^s x + B(s)e^-s x,
e para a solução particular tentamos Up = a x + b. Substituindo em Uxx-s^2U=-s u1x a=u1/s, b=0, logo
U(x,s) = A(s)e^s x + B(s)e^-s x + u1sx

Passo 4

Agora impomos as condições de contorno no domínio de s: em x=0 temos U(0,s)=u0/s, logo
A(s)+B(s)=u0s
Como u(x,t)/xto u1 para xtoinfty, não pode haver termo em e^s x (diverge), então A(s)=0. Assim B(s)=u0/s e
U(x,s)=u0se^-s x+u1sx

Passo 5

Invertendo a transformada usando L^-1e^-s x/s=H(t-x) e L^-11/s=1, obtemos
u(x,t)=u0,H(t-x)+u1,x

Resposta

u(x,t)=u_1 x+u_0,H(t-x)

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