Calcule a integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d x}{x^{2}+4}
(Sugestão: contorno semicircular no semiplano superior e resíduos.)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+4}.
Informações e observações importantes fornecidas:
  • A função integranda é f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+4}.
  • A sugestão indica usar contorno semicircular no semiplano superior e o teorema dos resíduos (ou seja, cálculo por análise complexa).
  • A integral é própria em qualquer intervalo finito, mas é imprópria porque os limites dos extremos vão a \pm\infty.
  • A função racional estende-se para f(z)=\dfrac{1}{z^{2}+4} no plano complexo, com singularidades onde z^{2}+4=0.

Passo 2

Escolha do contorno e ideia geral do método (sem pular passos):
  • Considere o contorno fechado \Gamma_R formado pelo segmento real [-R,R] mais o semicírculo C_R de raio R no semiplano superior, orientado no sentido anti-horário.
  • Denotando a integral sobre o segmento real por
I_R=\int_{-R}^{R}\frac{dx}{x^{2}+4},
a integral sobre o contorno é
\oint_{\Gamma_R}\frac{dz}{z^{2}+4}=I_R+\int_{C_R}\frac{dz}{z^{2}+4}.
  • Pelo teorema dos resíduos, para R suficientemente grande
\oint_{\Gamma_R}\frac{dz}{z^{2}+4}=2\pi i\sum \operatorname{Res}(f; \text{pólos dentro de }\Gamma_R).ó
  • A estratégia: (i) encontrar os pólos no semiplano superior e seus resíduos; (ii) mostrar que \displaystyle \int_{C_R}\frac{dz}{z^{2}+4}\to 0 quando R\to\infty; (iii) então passar ao limite R\to\infty para obter a integral desejada.

Passo 3

Localização dos pólos e cálculo do resíduo (com explicação de como fazer):
  • As singularidades de f(z)=\dfrac{1}{z^{2}+4} são soluções de
z^{2}+4=0 \quad\Rightarrow\quad z=\pm 2i.
  • São pólos simples porque z^{2}+4=(z-2i)(z+2i) e cada fator é linear.
  • No semiplano superior está apenas o pólo z_{0}=2i.
  • Fórmula prática para resíduo em pólo simples: se f(z)=\dfrac{g(z)}{h(z)} com h(z_0)=0, h'(z_0)\neq0 e g analítica em z_0, então
\operatorname{Res}(f;z_0)=\frac{g(z_0)}{h'(z_0)}.
No nosso caso g(z)=1 e h(z)=z^{2}+4 com h'(z)=2z.
  • Aplicando:
\operatorname{Res}\biggl(\frac{1}{z^{2}+4};\,2i\biggr)=\frac{1}{2z}\Bigg|_{z=2i}=\frac{1}{2\cdot 2i}=\frac{1}{4i}.
  • Para clareza, podemos reescrever
\frac{1}{4i}=-\frac{i}{4},
pois \dfrac{1}{i}=-i. Portanto
\operatorname{Res}\biggl(\frac{1}{z^{2}+4};\,2i\biggr)=-\frac{i}{4}.

Passo 4

Estimativa do integral sobre o semicírculo C_R e justificativa para passar ao limite:
  • Para |z|=R com R>2 tem-se
|z^{2}+4|\ge |z|^{2}-4=R^{2}-4,
logo
\left|\frac{1}{z^{2}+4}\right|\le\frac{1}{R^{2}-4}.
  • O comprimento do semicírculo C_R é \pi R. Pelo lema da estimativa,
\left|\int_{C_R}\frac{dz}{z^{2}+4}\right|\le (\text{comprimento de }C_R)\cdot\max_{C_R}\left|\frac{1}{z^{2}+4}\right| \le \pi R\cdot\frac{1}{R^{2}-4}.
  • Ao tomar R\to\infty,
\pi R\cdot\frac{1}{R^{2}-4}\longrightarrow 0,
porque o numerador cresce como R e o denominador como R^{2}. Assim
\lim_{R\to\infty}\int_{C_R}\frac{dz}{z^{2}+4}=0.
  • Conclusão: no limite R\to\infty a integral sobre o contorno fechado tende à integral sobre toda a reta real:
\lim_{R\to\infty}\oint_{\Gamma_R}\frac{dz}{z^{2}+4}=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+4}.

Passo 5

Aplicação do teorema dos resíduos e cálculo final:
  • Pelo teorema dos resíduos, para cada R grande
\oint_{\Gamma_R}\frac{dz}{z^{2}+4}=2\pi i\sum \operatorname{Res}\biggl(\frac{1}{z^{2}+4};\\ \text{pólos no semiplano superior}\biggr).ó
  • Só há o pólo 2i no semiplano superior, com resíduo -\dfrac{i}{4}. Então
\oint_{\Gamma_R}\frac{dz}{z^{2}+4}=2\pi i\left(-\frac{i}{4}\right)=2\pi i\cdot\left(-\frac{i}{4}\right).
  • Simplificando i\cdot(-i)=1, obtemos
\oint_{\Gamma_R}\frac{dz}{z^{2}+4}=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}.
  • Agora passando ao limite R\to\infty, usando que a contribuição do semicírculo tende a zero (Passo 4), fica
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+4}=\frac{\pi}{2}.

Passo 6

Verificação alternativa (método real mais direto, para reforçar o aprendizado):
  • Conhecendo uma primitiva real simples, pode-se também calcular diretamente:
\int\frac{dx}{x^{2}+4}=\int\frac{dx}{x^{2}+2^{2}}=\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)+C.
  • Tomando limites impróprios,
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+4}=\lim_{A\to\infty}\left[\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)\right]_{-A}^{A} =\frac{1}{2}\bigl(\tfrac{\pi}{2}-(-\tfrac{\pi}{2})\bigr)=\frac{\pi}{2}.
  • Resultado coincide com o obtido pelo método dos resíduos, o que é uma boa checagem.

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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