(Sugestão: contorno semicircular no semiplano superior e resíduos.)
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+4}.
Informações e observações importantes fornecidas:
A função integranda é f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+4}.
A sugestão indica usar contorno semicircular no semiplano superior e o teorema dos resíduos (ou seja, cálculo por análise complexa).
A integral é própria em qualquer intervalo finito, mas é imprópria porque os limites dos extremos vão a \pm\infty.
A função racional estende-se para f(z)=\dfrac{1}{z^{2}+4} no plano complexo, com singularidades onde z^{2}+4=0.
Passo 2
Escolha do contorno e ideia geral do método (sem pular passos):
Considere o contorno fechado \Gamma_R formado pelo segmento real [-R,R] mais o semicírculo C_R de raio R no semiplano superior, orientado no sentido anti-horário.
Pelo teorema dos resíduos, para R suficientemente grande
\oint_{\Gamma_R}\frac{dz}{z^{2}+4}=2\pi i\sum \operatorname{Res}(f; \text{pólos dentro de }\Gamma_R).
A estratégia: (i) encontrar os pólos no semiplano superior e seus resíduos; (ii) mostrar que \displaystyle \int_{C_R}\frac{dz}{z^{2}+4}\to 0 quando R\to\infty; (iii) então passar ao limite R\to\infty para obter a integral desejada.
Passo 3
Localização dos pólos e cálculo do resíduo (com explicação de como fazer):
As singularidades de f(z)=\dfrac{1}{z^{2}+4} são soluções de
z^{2}+4=0 \quad\Rightarrow\quad z=\pm 2i.
São pólos simples porque z^{2}+4=(z-2i)(z+2i) e cada fator é linear.
No semiplano superior está apenas o pólo z_{0}=2i.
Fórmula prática para resíduo em pólo simples: se f(z)=\dfrac{g(z)}{h(z)} com h(z_0)=0, h'(z_0)\neq0 e g analítica em z_0, então