Desenvolva em série de Laurent a função
em torno de
válida no anel
. Identifique o coeficiente de
(o resíduo em
).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Desenvolver em série de Laurent a função
em torno de , válida no anel . - Identificar o coeficiente de
(ou seja, o resíduo de em ).
Informações dadas:
- A função é
. - O centro da expansão é
. - A região de validade pedida é
(ou seja, um disco centrado em de raio , excluindo o ponto onde há polo). - Há singularidades nos pontos
e ; note que a distância de até é .
Passo 2
Estratégia (motivação didática, sem ainda calcular):
- Como queremos a série em torno de
, convém escrever tudo em potências de . - A presença de um polo simples em
indica que a série de Laurent terá um termo em e uma parte analítica (série em potências não-negativas de ). - Uma forma prática é usar frações parciais para separar o termo singular
e depois expandir a parte restante usando a série geométrica válida para . - Lembre: o raio de convergência ao expandir em torno de
será até a singularidade mais próxima diferente de , que é , portanto raio . Assim a expansão será válida para (exceto o ponto em si).
Passo 3
Fazer frações parciais para separar o pólo em
. Procuramos
e
tais que
Multiplicando por
obtemos
Escolhendo valores de
para resolver rapidamente:
- Para
: então . - Para
: então .
Portanto a decomposição é
Passo 4
Passar para a variável
. Então
e
Usamos a série geométrica (fórmula básica):
Multiplicando por
dá
Passo 5
Agora combinar as duas partes para obter a série de Laurent. Substituindo em
:
Voltando a
com
, obtemos a série de Laurent centrada em
:
Se quiser ver os primeiros termos explicitamente:
Passo 6
Identificar o coeficiente de
(resíduo): na série escrita o termo em
aparece com coeficiente
. Assim
Passo 7
Comentários finais rápidos e dica para prova:
- A razão da convergência até
é que a próxima singularidade (em ) está a distância de ; a expansão em potências de converge até a singularidade mais próxima. - Alternativa rápida para o resíduo quando o polo é simples: usar a fórmula
o que é muito prático na prova.