Desenvolva em série de Laurent a função
p(z)=\frac{1}{(z-2)(z-3)}
em torno de z_{0}=2 válida no anel 0<|z-2|<1. Identifique o coeficiente de (z-2)^{-1} (o resíduo em z=2 ).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Desenvolver em série de Laurent a função p(z)=\dfrac{1}{(z-2)(z-3)} em torno de z_{0}=2, válida no anel 0<|z-2|<1.
  • Identificar o coeficiente de (z-2)^{-1} (ou seja, o resíduo de p em z=2).
Informações dadas:
  • A função é p(z)=\dfrac{1}{(z-2)(z-3)}.
  • O centro da expansão é z_{0}=2.
  • A região de validade pedida é 0<|z-2|<1 (ou seja, um disco centrado em 2 de raio 1, excluindo o ponto z=2 onde há polo).
  • Há singularidades nos pontos z=2 e z=3; note que a distância de z=2 até z=3 é 1.

Passo 2

Estratégia (motivação didática, sem ainda calcular):
  • Como queremos a série em torno de z=2, convém escrever tudo em potências de w:=z-2.
  • A presença de um polo simples em z=2 indica que a série de Laurent terá um termo em (z-2)^{-1} e uma parte analítica (série em potências não-negativas de z-2).
  • Uma forma prática é usar frações parciais para separar o termo singular \dfrac{1}{z-2} e depois expandir a parte restante usando a série geométrica \dfrac{1}{1-w}=\sum_{n=0}^{\infty}w^{n} válida para |w|<1.
  • Lembre: o raio de convergência ao expandir em torno de 2 será até a singularidade mais próxima diferente de 2, que é z=3, portanto raio 1. Assim a expansão será válida para |z-2|<1 (exceto o ponto z=2 em si).

Passo 3

Fazer frações parciais para separar o pólo em z=2. Procuramos A e B tais que
\frac{1}{(z-2)(z-3)}=\frac{A}{z-2}+\frac{B}{z-3}.
Multiplicando por (z-2)(z-3) obtemos
1 = A(z-3)+B(z-2).
Escolhendo valores de z para resolver rapidamente:
  • Para z=2: 1 = A(2-3)=A(-1) então A=-1.
  • Para z=3: 1 = B(3-2)=B(1) então B=1.
Portanto a decomposição é
p(z)=\frac{1}{(z-2)(z-3)}=-\frac{1}{z-2}+\frac{1}{z-3}.

Passo 4

Passar para a variável w:=z-2. Então \dfrac{1}{z-2}=\dfrac{1}{w} e
\frac{1}{z-3}=\frac{1}{w-1}=-\frac{1}{1-w}.
Usamos a série geométrica (fórmula básica):
\frac{1}{1-w}=\sum_{n=0}^{\infty} w^{n}\qquad\text{para }|w|<1.
Multiplicando por -1
\frac{1}{w-1}=-\sum_{n=0}^{\infty} w^{n}\qquad\text{para }|w|<1.

Passo 5

Agora combinar as duas partes para obter a série de Laurent. Substituindo em p:
p(z)=-\frac{1}{w}+\frac{1}{w-1}=-\frac{1}{w}-\sum_{n=0}^{\infty} w^{n}.
Voltando a z com w=z-2, obtemos a série de Laurent centrada em 2:
\boxed{\,p(z)=-\frac{1}{z-2}-\sum_{n=0}^{\infty}(z-2)^{n}\,,\qquad 0<|z-2|<1\,.}
Se quiser ver os primeiros termos explicitamente:
p(z)=-\frac{1}{z-2}-1-(z-2)-(z-2)^{2}-(z-2)^{3}-\cdots.

Passo 6

Identificar o coeficiente de (z-2)^{-1} (resíduo): na série escrita o termo em (z-2)^{-1} aparece com coeficiente -1. Assim
\operatorname{Res}(p,2)=-1.

Passo 7

Comentários finais rápidos e dica para prova:
  • A razão da convergência até |z-2|<1 é que a próxima singularidade (em z=3) está a distância 1 de 2; a expansão em potências de z-2 converge até a singularidade mais próxima.
  • Alternativa rápida para o resíduo quando o polo é simples: usar a fórmula
\operatorname{Res}(p,2)=\lim_{z\to2}(z-2)p(z)=\lim_{z\to2}\frac{1}{z-3}=-1,
o que é muito prático na prova.

Resposta

p(z)=-\frac{1}{z-2}-\sum_{n=0}^{\infty}(z-2)^{n}\qquad(0<|z-2|<1)
\operatorname{Res}(p,2)=-1

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