nas regiões:
(a) 0<|z|<1;
(b) |z|>1. Em cada caso, indique explicitamente a parte principal e a parte regular.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos (sem resolver ainda).
A função dada é h(z)=\dfrac{1}{z(z-1)}.
As regiões onde se pede a expansão em série de Laurent (em torno de z=0) são:
(a) 0<|z|<1;
(b) |z|>1.
Para cada região é pedido, explicitamente, a parte principal (termos com potências negativas de z) e a parte regular (termos com potências não-negativas de z).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
h(z) tem singularidades simples em z=0 e z=1.
As expansões pedidas são séries em potências de z (ou z^{-1}) válidas nas respectivas regiões.
Passo 2
Escrever h(z) em frações parciais — passo técnico simples e muito útil.
Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{z(z-1)}=\frac{A}{z}+\frac{B}{z-1}.
Multiplicando ambos os lados por z(z-1) obtemos
1 = A(z-1)+Bz = (A+B)z - A.
Igualando coeficientes: do termo constante vem -A=1 então A=-1. Do termo em z vem A+B=0 então B=1.
Logo obtemos a decomposição simples e muito útil:
\frac{1}{z(z-1)}=-\frac{1}{z}+\frac{1}{z-1}.
Passo 3
Breve revisão didática: o que é série de Laurent, parte principal e parte regular, e a ferramenta que vamos usar (série geométrica).
Série de Laurent centrada em 0 é uma representação da forma
\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n z^n,
com termos de potências negativas permitidos. A parte principal é a soma dos termos com n<0 (potências negativas). A parte regular é a soma dos termos com n\ge 0 (potências não-negativas).
A ferramenta básica para obter expansões é a série geométrica:
\frac{1}{1-w}=\sum_{n=0}^{\infty} w^n, \qquad\text{válida quando }|w|<1.
Vamos aplicar essa identidade com escolhas adequadas de w que garantam |w|<1 nas regiões pedidas.
Passo 4
Expansão para a região (a): 0<|z|<1.
Partimos da decomposição encontrada:
h(z)=-\frac{1}{z}+\frac{1}{z-1}.
Para |z|<1 escrevemos
\frac{1}{z-1}=-\frac{1}{1-z}.
Aplicando a série geométrica com w=z (já que |z|<1), temos
Identificar parte principal e parte regular para (b).
Nesta região todos os termos são potências negativas (em z^{-2},z^{-3},\dots). Portanto a parte principal é
\text{Parte principal em }|z|>1:\quad \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{z^n} = \frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^3}+\cdots.
A parte regular (termos com potências não-negativas) é nula:
\text{Parte regular em }|z|>1:\quad 0.
Passo 8
Comentários finais, convergência e singularidades (rápido e útil para a prova).
Na expansão para 0<|z|<1 a série -\sum_{n=0}^\infty z^n converge absolutamente para |z|<1, e a presença do termo -1/z mostra a singularidade simples em z=0.
Na expansão para |z|>1 a série \sum_{n=2}^\infty z^{-n} converge absolutamente para |z|>1. Note que não há termo em z^{-1} nessa expansão (houve cancelamento), mas ainda existem infinitos termos negativos indicando que a singularidade em z=0 é um pólo simples — a forma da série depende da região de anel considerada.
As expansões obtidas são as únicas séries de Laurent centradas em 0 que convergem nas respectivas regiões dadas.