Desenvolva em série de Laurent a função
h(z)=\frac{1}{z(z-1)}
nas regiões:
(a) 0<|z|<1;
(b) |z|>1. Em cada caso, indique explicitamente a parte principal e a parte regular.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos (sem resolver ainda).
  • A função dada é h(z)=\dfrac{1}{z(z-1)}.
  • As regiões onde se pede a expansão em série de Laurent (em torno de z=0) são:
    • (a) 0<|z|<1;
    • (b) |z|>1.
  • Para cada região é pedido, explicitamente, a parte principal (termos com potências negativas de z) e a parte regular (termos com potências não-negativas de z).
  • Informações relevantes extraídas do enunciado:
    • h(z) tem singularidades simples em z=0 e z=1.
    • As expansões pedidas são séries em potências de z (ou z^{-1}) válidas nas respectivas regiões.

Passo 2

Escrever h(z) em frações parciais — passo técnico simples e muito útil.
Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{z(z-1)}=\frac{A}{z}+\frac{B}{z-1}.
Multiplicando ambos os lados por z(z-1) obtemos
1 = A(z-1)+Bz = (A+B)z - A.
Igualando coeficientes: do termo constante vem -A=1 então A=-1. Do termo em z vem A+B=0 então B=1.
Logo obtemos a decomposição simples e muito útil:
\frac{1}{z(z-1)}=-\frac{1}{z}+\frac{1}{z-1}.

Passo 3

Breve revisão didática: o que é série de Laurent, parte principal e parte regular, e a ferramenta que vamos usar (série geométrica).
  • Série de Laurent centrada em 0 é uma representação da forma
\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n z^n,
com termos de potências negativas permitidos. A parte principal é a soma dos termos com n<0 (potências negativas). A parte regular é a soma dos termos com n\ge 0 (potências não-negativas).
  • A ferramenta básica para obter expansões é a série geométrica:
\frac{1}{1-w}=\sum_{n=0}^{\infty} w^n, \qquad\text{válida quando }|w|<1.á
Vamos aplicar essa identidade com escolhas adequadas de w que garantam |w|<1 nas regiões pedidas.

Passo 4

Expansão para a região (a): 0<|z|<1.
Partimos da decomposição encontrada:
h(z)=-\frac{1}{z}+\frac{1}{z-1}.
Para |z|<1 escrevemos
\frac{1}{z-1}=-\frac{1}{1-z}.
Aplicando a série geométrica com w=z (já que |z|<1), temos
\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty} z^n,
portanto
\frac{1}{z-1}=-\sum_{n=0}^{\infty} z^n \qquad (|z|<1).
Substituindo em h(z):
h(z)=-\frac{1}{z}-\sum_{n=0}^{\infty} z^n.
Escrevendo alguns termos explicitamente,
h(z)=-\frac{1}{z} - 1 - z - z^2 - z^3 - \cdots \qquad (0<|z|<1).

Passo 5

Identificar parte principal e parte regular para (a).
  • Parte principal (termos com potências negativas): é apenas o termo em z^{-1}
\text{Parte principal em }0<|z|<1:\quad -\frac{1}{z}.
  • Parte regular (termos com potências não-negativas): a série em potências inteiras não-negativas
\text{Parte regular em }0<|z|<1:\quad -\sum_{n=0}^{\infty} z^n = -1 - z - z^2 - \cdots.
Assim a série de Laurent está completamente determinada para 0<|z|<1.

Passo 6

Expansão para a região (b): |z|>1.
Partimos da mesma decomposição
h(z)=-\frac{1}{z}+\frac{1}{z-1}.
Para |z|>1 é conveniente reescrever \dfrac{1}{z-1} em potências de z^{-1}. Observe que
\frac{1}{z-1}=\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{1-\dfrac{1}{z}}.
Agora aplicamos a série geométrica com w=\dfrac{1}{z}. Como |z|>1 temos \left|\dfrac{1}{z}\right|<1, logo
\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{z^n}.
Multiplicando por 1/z segue
\frac{1}{z-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{z^{n+1}} = \frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^3}+\cdots \qquad (|z|>1).
Substituindo em h(z):
h(z)=-\frac{1}{z}+\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^3}+\cdots\right).
O termo -\dfrac{1}{z} cancela com o primeiro termo da soma, restando
h(z)=\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^3}+\frac{1}{z^4}+\cdots = \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{z^n} \qquad (|z|>1).

Passo 7

Identificar parte principal e parte regular para (b).
  • Nesta região todos os termos são potências negativas (em z^{-2},z^{-3},\dots). Portanto a parte principal é
\text{Parte principal em }|z|>1:\quad \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{z^n} = \frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^3}+\cdots.
  • A parte regular (termos com potências não-negativas) é nula:
\text{Parte regular em }|z|>1:\quad 0.

Passo 8

Comentários finais, convergência e singularidades (rápido e útil para a prova).
  • Na expansão para 0<|z|<1 a série -\sum_{n=0}^\infty z^n converge absolutamente para |z|<1, e a presença do termo -1/z mostra a singularidade simples em z=0.
  • Na expansão para |z|>1 a série \sum_{n=2}^\infty z^{-n} converge absolutamente para |z|>1. Note que não há termo em z^{-1} nessa expansão (houve cancelamento), mas ainda existem infinitos termos negativos indicando que a singularidade em z=0 é um pólo simples — a forma da série depende da região de anel considerada.
  • As expansões obtidas são as únicas séries de Laurent centradas em 0 que convergem nas respectivas regiões dadas.

Resposta

(a) Para 0<|z|<1:
h(z)=-\frac{1}{z}-\sum_{n=0}^{\infty} z^n = -\frac{1}{z}-1-z-z^2-\cdots.
Parte principal: -\dfrac{1}{z}. Parte regular: -\sum_{n=0}^{\infty} z^n.
(b) Para |z|>1:
h(z)=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{z^n} = \frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^3}+\cdots.
Parte principal: \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{z^n}. Parte regular: 0.

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