(2.0) Use coordenadas cilíndricas para calcular I=\iiint 8 z \sqrt{x^{2}+y^{2}} d V, onde D, regizio de integraçăo, é o sólido no 1^{\circ} octante limitado pela superfície cilíndrica x^{2}+y^{2}=1, pelo pano z=0 e pelo plano z=y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I=\iiint_{D}8\,z\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;dV
no primeiro octante, onde D é limitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=1, pelo plano z=0 e pelo plano z=y.
O conteúdo principal é uso de coordenadas cilíndricas, nas quais
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,\quad dV = r\,dr\,d\theta\,dz,
e \sqrt{x^2+y^2}=r.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, a integranda fica
8\,z\,\sqrt{x^2+y^2}=8\,z\,r
e o elemento de volume é dV=r\,dr\,d\theta\,dz, logo o integrando total é
8\,z\,r\;\times r = 8\,z\,r^{2}.
Os limites são \theta de 0 a \tfrac\pi2 (primeiro octante), r de 0 a 1 (dentro do cilindro), z de 0 a y=r\sin\theta (entre z=0 e z=y).
Assim
I = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{1}\int_{z=0}^{r\sin\theta} 8\,z\,r^{2}\;dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

Integramos primeiro em z:
\int_{0}^{r\sin\theta}8\,z\,r^{2}\;dz =8\,r^{2}\left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{r\sin\theta} =4\,r^{2}\bigl(r^{2}\sin^{2}\theta\bigr) =4\,r^{4}\sin^{2}\theta.
Logo
I = \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{1}4\,r^{4}\sin^{2}\theta\;dr\,d\theta.

Passo 4

Agora integramos em r:
\int_{0}^{1}4\,r^{4}\;dr =4\left[\frac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{1} =\frac{4}{5}.
Portanto
I = \frac{4}{5}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\theta\;d\theta.

Passo 5

Para a integral de \sin^{2}\theta no intervalo [0,\pi/2] usamos \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\theta\,d\theta=\frac{\pi}{4}.
Logo
I = \frac{4}{5}\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{5}

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