Calcule a Integral Imprópria
integral0^2pi 1x^2 sen(1x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral imprópria dada:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão, além de entender como lidar com limites de integração que envolvem infinito ou pontos problemáticos.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que a integral tem t = 1x e . Isso sugere que uma boa estratégia é fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir:
Essa substituição vai nos ajudar a transformar a integral em termos de , tornando-a mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, precisamos expressar dt = -1x^2 dx Rightarrow dx = -x^2 dt em termos de x = 1t . Derivando dx = -(1t)^2 dt = -1t^2 dt , temos:
Mas como , podemos resolver para :
Substituindo na expressão de :

Passo 4

Agora, vamos mudar os limites de integração conforme a substituição integral0^2pi 1x^2 sen(1x) dx = integralinfty^pi2 1(1t)^2 sen(t) (-1t^2 dt) :
  • Quando integralinfty^pi2 t^2 sen(t) (-1t^2) dt = integralinfty^pi2 -sen(t) dt = integralpi2^infty sen(t) dt ,
  • Quando ,
Substituindo tudo na integral original:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral:
Sabemos que a integral de é integralpi2^infty sen(t) dt , então:
- cos(t) |pi2^infty
Avaliar em nos dá um problema, pois oscila entre -1 e 1, e não tem um limite definido quando . Isso significa que a integral não converge, ou seja, ela é divergente.

Resposta

A integral imprópria não converge; ela é divergente.

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