Calcule a integral indefinida:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a expressão indefinida
11 - ∫ \frac{1 + 4x}{\sqrt{1 + x + 2x^2}},dx, que envolve uma integral do tipo \int (f’(x)/\sqrt{f(x)}),dx. Vamos usar substituição para resolver.
11 - ∫ \frac{1 + 4x}{\sqrt{1 + x + 2x^2}},dx, que envolve uma integral do tipo \int (f’(x)/\sqrt{f(x)}),dx. Vamos usar substituição para resolver.
Passo 2
Observamos que o radicando é f(x)=1+x+2x^2. Logo, sua derivada é
Isso bate exatamente com o numerador da integral.
Passo 3
Fazemos a substituição
. Então
e a integral vira
Passo 4
Agora integramos \int u^{-1/2},du, que pela fórmula geral \int u^{n} du = u^{n+1}/(n+1) (quando n≠−1) nos dá
Passo 5
Voltando a variável x e lembrando que a expressão original é 11 menos essa integral, obtemos
Resposta
11 - 2\sqrt{1 + x + 2x^2} + C