Calcule a integral indefinida:
11-integral 1+4 xraiz1+x+2 x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão indefinida
11 - ∫ \frac{1 + 4x}{\sqrt{1 + x + 2x^2}},dx, que envolve uma integral do tipo \int (f’(x)/\sqrt{f(x)}),dx. Vamos usar substituição para resolver.

Passo 2

Observamos que o radicando é f(x)=1+x+2x^2. Logo, sua derivada é
ddx(1+x+2x^2) = 1 + 4x
Isso bate exatamente com o numerador da integral.

Passo 3

Fazemos a substituição u = 1 + x + 2x^2. Então
du = (1 + 4x),dx
e a integral vira
integral 1 + 4xraiz1 + x + 2x^2,dx = integral duraizu

Passo 4

Agora integramos \int u^{-1/2},du, que pela fórmula geral \int u^{n} du = u^{n+1}/(n+1) (quando n≠−1) nos dá
integral u^-tfrac12,du = 2u^1/2 + C = 2raizu + C

Passo 5

Voltando a variável x e lembrando que a expressão original é 11 menos essa integral, obtemos
11 - 2raiz1 + x + 2x^2 + C

Resposta

11 - 2\sqrt{1 + x + 2x^2} + C

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