Determine se as sequências são convergentes ou divergentes
f(n)=1raizn^2+1-n

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar se a sequência $ f(n) = \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 1 - n}} $ é convergente ou divergente. A gente vai trabalhar com o conceito de limite de sequências, que nos ajuda a entender o comportamento da sequência conforme $ n $ fica bem grande.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a sequência ser convergente ou divergente. Convergente significa que a sequência se aproxima de um número específico quando $ n $ cresce sem limite. Divergente quer dizer que ela não se estabiliza em nenhum valor específico.

Passo 3

Para descobrir se $ f(n) $ converge, vamos calcular o limite quando $ n $ tende ao infinito:
f(n)

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da raiz, temos:
n^2 + 1 - n = n^2 - n + 1
Quando $ n $ é muito grande, os termos de menor grau (como $ -n $ e $ +1 $) têm pouca influência comparados a $ n^{2} $.

Passo 5

Então, podemos aproximar a expressão para facilitar:
raizn^2 - n + 1 approx raizn^2 = n

Passo 6

Substituindo de volta na função original:
f(n) approx 1n

Passo 7

Agora, calculamos o limite de $ \frac{1}{n} $ quando $ n $ tende ao infinito:
1n

Resposta

A sequência $ f(n) = \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 1 - n}} $ é convergente e seu limite é 0.

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