Determine se as sequências são convergentes ou divergentes
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar se a sequência $ f(n) = \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 1 - n}} $ é convergente ou divergente. A gente vai trabalhar com o conceito de limite de sequências, que nos ajuda a entender o comportamento da sequência conforme $ n $ fica bem grande.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a sequência ser convergente ou divergente. Convergente significa que a sequência se aproxima de um número específico quando $ n $ cresce sem limite. Divergente quer dizer que ela não se estabiliza em nenhum valor específico.
Passo 3
Para descobrir se $ f(n) $ converge, vamos calcular o limite quando $ n $ tende ao infinito:
Passo 4
Simplificando a expressão dentro da raiz, temos:
Quando $ n $ é muito grande, os termos de menor grau (como $ -n $ e $ +1 $) têm pouca influência comparados a $ n^{2} $.
Passo 5
Então, podemos aproximar a expressão para facilitar:
Passo 6
Substituindo de volta na função original:
Passo 7
Agora, calculamos o limite de $ \frac{1}{n} $ quando $ n $ tende ao infinito:
Resposta
A sequência $ f(n) = \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 1 - n}} $ é convergente e seu limite é 0.