Calcule a integral indefinida:
∫sen2x/cos4xdx

Passo 1

Enunciado: calcular a integral indefinida
\int \frac{\operatorname{sen} 2x}{\cos 4x}\,dx.
O que é dado:
  • Numerador: \operatorname{sen} 2x.
  • Denominador: \cos 4x.
  • Variável de integração: x.
    O que se pede:
  • Encontrar uma primitiva (antiderivada) da função \dfrac{\operatorname{sen} 2x}{\cos 4x}, isto é uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{\operatorname{sen} 2x}{\cos 4x}, mais a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método (justificação intuitiva, sem nomes técnicos complicados): reparo que o numerador contém \operatorname{sen} 2x e a derivada de \cos 2x é proporcional a -\operatorname{sen} 2x. Isso sugere a substituição
u=\cos 2x,
porque assim o diferencial du trará \operatorname{sen} 2x\,dx e a integral pode simplificar. Não estou a assumir que você já conhece o truque; só observo que derivadas de funções trigonométricas costumam aparecer assim e isso facilita.

Passo 3

Faço a substituição explicitamente. Derivando u=\cos 2x pelo teorema da cadeia:
du = -2\operatorname{sen} 2x\,dx,
portanto
\operatorname{sen} 2x\,dx = -\frac{1}{2}\,du.
Também preciso escrever \cos 4x em função de u. Uso a identidade dupla para cosseno:
\cos 4x = \cos(2\cdot(2x)) = 2\cos^2 2x - 1.
Como \cos 2x = u, obtemos
\cos 4x = 2u^2 - 1.

Passo 4

Substituo tudo na integral original. Temos
\int \frac{\operatorname{sen} 2x}{\cos 4x}\,dx = \int \frac{-\tfrac{1}{2}\,du}{2u^2 - 1} = -\frac{1}{2}\int \frac{du}{2u^2 - 1}.
Faço fatoração de 2 no denominador para simplificar:
-\frac{1}{2}\int \frac{du}{2u^2 - 1} = -\frac{1}{2}\int \frac{du}{2\bigl(u^2-\tfrac{1}{2}\bigr)} = -\frac{1}{4}\int \frac{du}{u^2-\tfrac{1}{2}}.

Passo 5

Agora preciso integrar \int \dfrac{du}{u^2-a^2} com a^2=\tfrac{1}{2}. Lembrando (e mostrando por que) a decomposição em frações parciais:
\frac{1}{u^2-a^2}=\frac{1}{(u-a)(u+a)} =\frac{1}{2a}\left(\frac{1}{u-a}-\frac{1}{u+a}\right).
Você pode verificar multiplicando o lado direito por 2a e juntando as frações. Integrando ambos os lados:
\int \frac{du}{u^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{u-a}{u+a}\right|+C.
No nosso caso a=\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Portanto
\int \frac{du}{u^2-\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{2\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}}\ln\left|\frac{u-\frac{1}{\sqrt{2}}}{u+\frac{1}{\sqrt{2}}}\right|+C =\frac{\sqrt{2}}{2}\ln\left|\frac{u-\frac{1}{\sqrt{2}}}{u+\frac{1}{\sqrt{2}}}\right|+C.

Passo 6

Volto à integral que tinha o fator -\dfrac{1}{4}. Multiplico pelo resultado do passo anterior:
-\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\ln\left|\frac{u-\frac{1}{\sqrt{2}}}{u+\frac{1}{\sqrt{2}}}\right|+C = -\frac{\sqrt{2}}{8}\ln\left|\frac{u-\frac{1}{\sqrt{2}}}{u+\frac{1}{\sqrt{2}}}\right|+C.
Finalmente substituo u=\cos 2x:
-\frac{\sqrt{2}}{8}\ln\left|\frac{\cos 2x-\frac{1}{\sqrt{2}}}{\cos 2x+\frac{1}{\sqrt{2}}}\right|+C.
Para deixar a expressão um pouco mais “limpa”, multiplico numerador e denominador dentro do log por \sqrt{2}:
\frac{\cos 2x-\frac{1}{\sqrt{2}}}{\cos 2x+\frac{1}{\sqrt{2}}} =\frac{\sqrt{2}\cos 2x - 1}{\sqrt{2}\cos 2x + 1},
e como \dfrac{\sqrt{2}}{8}=\dfrac{1}{4\sqrt{2}}, uma forma equivalente é
-\frac{1}{4\sqrt{2}}\ln\left|\frac{\sqrt{2}\cos 2x - 1}{\sqrt{2}\cos 2x + 1}\right|+C.

Resposta

-\dfrac{1}{4\sqrt{2}}\ln\left|\dfrac{\sqrt{2}\cos 2x - 1}{\sqrt{2}\cos 2x + 1}\right|+C

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