Encontrar uma primitiva (antiderivada) da função \dfrac{\operatorname{sen} 2x}{\cos 4x}, isto é uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{\operatorname{sen} 2x}{\cos 4x}, mais a constante de integração C.
Passo 2
Escolha do método (justificação intuitiva, sem nomes técnicos complicados): reparo que o numerador contém \operatorname{sen} 2x e a derivada de \cos 2x é proporcional a -\operatorname{sen} 2x. Isso sugere a substituição
u=\cos 2x,
porque assim o diferencial du trará \operatorname{sen} 2x\,dx e a integral pode simplificar. Não estou a assumir que você já conhece o truque; só observo que derivadas de funções trigonométricas costumam aparecer assim e isso facilita.
Passo 3
Faço a substituição explicitamente. Derivando u=\cos 2x pelo teorema da cadeia:
du = -2\operatorname{sen} 2x\,dx,
portanto
\operatorname{sen} 2x\,dx = -\frac{1}{2}\,du.
Também preciso escrever \cos 4x em função de u. Uso a identidade dupla para cosseno: