Calcule a integral indefinida:
∫48sen2xcos4xdx
∫48sen2xcos4xdx
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
O objetivo é encontrar uma primitiva (uma função cuja derivada seja o integrando) e adicionar a constante de integração
.
Passo 2
Observação sobre o método: temos um produto de funções trigonométricas
e
. Uma abordagem simples é usar uma identidade trigonométrica que transforma produto em soma, o que facilita a integração termo a termo. Vou usar essa identidade porque transformar produto em soma geralmente torna integrais trigonométricas diretas e rápidas de resolver.
Agora apresento e mostro de onde vem a identidade que vou usar. Começo pelas fórmulas de soma/ subtração de seno:
Se eu somar essas duas igualdades, os termos com
se cancelam, sobrando:
Isolando
obtemos a identidade produto-para-soma:
Passo 3
Aplicando a identidade com
e
:
Usando que
(paridade do seno), isso fica:
Passo 4
Substituo essa expressão na integral original:
Simplificando o fator:
Distribuindo o
:
Passo 5
Agora preciso integrar termos do tipo
. Lembrete/mini-aula rápida: a derivada de
é
Portanto, uma primitiva de
é
porque ao derivar
voltamos a
. Aqui
é uma constante (número) e
é a variável.
Passo 6
Aplico a fórmula a cada termo:
Mas atenção ao sinal: a integral total era
. Substituindo os resultados:
Adicionamos a constante de integração
.
Passo 7
Verificação rápida (pra ganhar confiança): derivando a primitiva encontrada,
Factorizando
:
. Lembrando que
, multiplicando por
obtém-se exatamente o integrando original. Logo a primitiva está correta.