Calcule a integral indefinida:
∫48sen2xcos4xdx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int 48\operatorname{sen} 2x\cos 4x\,dx.
Informações dadas:
\text{Integrando: }48\operatorname{sen} 2x\cos 4x.
O objetivo é encontrar uma primitiva (uma função cuja derivada seja o integrando) e adicionar a constante de integração C.

Passo 2

Observação sobre o método: temos um produto de funções trigonométricas \operatorname{sen} 2x e \cos 4x. Uma abordagem simples é usar uma identidade trigonométrica que transforma produto em soma, o que facilita a integração termo a termo. Vou usar essa identidade porque transformar produto em soma geralmente torna integrais trigonométricas diretas e rápidas de resolver.
Agora apresento e mostro de onde vem a identidade que vou usar. Começo pelas fórmulas de soma/ subtração de seno:
\operatorname{sen}(A+B)=\operatorname{sen} A\cos B+\cos A\operatorname{sen} B,
\operatorname{sen}(A-B)=\operatorname{sen} A\cos B-\cos A\operatorname{sen} B.
Se eu somar essas duas igualdades, os termos com \cos A\operatorname{sen} B se cancelam, sobrando:
\operatorname{sen}(A+B)+\operatorname{sen}(A-B)=2\operatorname{sen} A\cos B.
Isolando \operatorname{sen} A\cos B obtemos a identidade produto-para-soma:
\operatorname{sen} A\cos B=\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{sen}(A+B)+\operatorname{sen}(A-B)\big).

Passo 3

Aplicando a identidade com A=2x e B=4x:
\operatorname{sen} 2x\cos 4x=\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{sen}(2x+4x)+\operatorname{sen}(2x-4x)\big)=\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{sen} 6x+\operatorname{sen}(-2x)\big).
Usando que \operatorname{sen}(-2x)=-\operatorname{sen} 2x (paridade do seno), isso fica:
\operatorname{sen} 2x\cos 4x=\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{sen} 6x-\operatorname{sen} 2x\big).

Passo 4

Substituo essa expressão na integral original:
\int 48\operatorname{sen} 2x\cos 4x\,dx = \int 48\cdot \tfrac{1}{2}\big(\operatorname{sen} 6x-\operatorname{sen} 2x\big)\,dx.
Simplificando o fator:
\int 48\operatorname{sen} 2x\cos 4x\,dx = \int 24\big(\operatorname{sen} 6x-\operatorname{sen} 2x\big)\,dx.
Distribuindo o 24:
\int 24\operatorname{sen} 6x\,dx - \int 24\operatorname{sen} 2x\,dx.

Passo 5

Agora preciso integrar termos do tipo \operatorname{sen}(kx). Lembrete/mini-aula rápida: a derivada de \cos(kx) é
\frac{d}{dx}\cos(kx)=-k\operatorname{sen}(kx).
Portanto, uma primitiva de \operatorname{sen}(kx) é
\int \operatorname{sen}(kx)\,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx)+C,
porque ao derivar -\frac{1}{k}\cos(kx) voltamos a \operatorname{sen}(kx). Aqui k é uma constante (número) e x é a variável.

Passo 6

Aplico a fórmula a cada termo:
24\int \operatorname{sen} 6x\,dx = 24\left(-\frac{1}{6}\cos 6x\right) = -4\cos 6x,
24\int \operatorname{sen} 2x\,dx = 24\left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right) = -12\cos 2x.
Mas atenção ao sinal: a integral total era 24\int \operatorname{sen} 6x\,dx - 24\int \operatorname{sen} 2x\,dx. Substituindo os resultados:
-4\cos 6x - (-12\cos 2x) = -4\cos 6x + 12\cos 2x.
Adicionamos a constante de integração C.

Passo 7

Verificação rápida (pra ganhar confiança): derivando a primitiva encontrada,
\frac{d}{dx}\big(-4\cos 6x + 12\cos 2x\big) = -4(-6\operatorname{sen} 6x) + 12(-2\operatorname{sen} 2x) = 24\operatorname{sen} 6x -24\operatorname{sen} 2x.
Factorizando 24: 24(\operatorname{sen} 6x-\operatorname{sen} 2x). Lembrando que \operatorname{sen} 2x\cos 4x=\tfrac{1}{2}(\operatorname{sen} 6x-\operatorname{sen} 2x), multiplicando por 48 obtém-se exatamente o integrando original. Logo a primitiva está correta.

Resposta

\,-4\cos 6x + 12\cos 2x + C

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