Determine se as sequências são convergentes ou divergentes
Passo 1
Então, a gente tem que descobrir se a sequência $ f(n) = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} $ é convergente ou divergente. Aqui, vamos mexer com limites e propriedades das sequências, especialmente envolvendo raízes quadradas. O que a gente precisa fazer é calcular o limite dessa sequência quando $ n $ tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão $ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} $. Para facilitar, a gente pode racionalizar essa diferença. Racionalizar significa eliminar a raiz do denominador ou do numerador multiplicando por uma expressão conveniente. No nosso caso, vamos multiplicar e dividir por $ \sqrt{n+1} + \sqrt{n} $, que é o conjugado da expressão que temos.
Então, fazemos:
Passo 3
Agora, no numerador, usamos a identidade $ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 $. Aplicando isso:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento dessa fração conforme $ n $ cresce. Tanto $ \sqrt{n+1} $ quanto $ \sqrt{n} $ tendem ao infinito, mas como estamos somando elas no denominador, a expressão inteira tende a zero. Para ver isso de forma mais clara, podemos dividir o numerador e o denominador por $ \sqrt{n} $:
Quando $ n $ tende ao infinito, $ \frac{1}{n} $ tende a zero, então $ \sqrt{1 + \frac{1}{n}} $ tende a 1. Assim, o denominador fica aproximadamente $ \sqrt{n} (1 + 1) = 2\sqrt{n} $, e a expressão completa fica:
Passo 5
Finalmente, percebemos que $ \frac{1}{2\sqrt{n}} $ tende a zero conforme $ n $ tende ao infinito, já que o denominador cresce sem limites. Portanto, o limite da sequência $ f(n) $ é zero.
Resposta
A sequência $ f(n) = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} $ é convergente e seu limite é $ 0 $.