Calcule a integral indefinida:
1-
\begin{array}{ll} \int \frac{2 x^{3}}{x^{2}+x} d x & \int \frac{2 x+1}{2 x^{2}+3 x-2} d x\\\ \int \frac{x-1}{x^{3}+x^{2}-4 x-4} d x & \int \frac{3 x^{2}}{2 x^{3}-x^{2}-2 x+1} d x\\\ \int \frac{x^{2}+5 x+4}{x^{2}-2 x+1} d x & \int \frac{x-1}{(x-2)^{2}(x-3)^{2}} d x\\\ \int \frac{\left(x^{2}+1\right)}{x^{4}-7 x^{3}+18 x^{2}-20 x+8} d x & \int \frac{d x}{x^{3}-4 x^{2}}\\\ \int \frac{x^{3}+2 x^{2}+4}{2 x^{2}+2} d x & \int \frac{5 d x}{x^{3}+4 x}\\\ \int \frac{3 x-1}{x^{2}-x+1} d x & \int \frac{d x}{x^{3}+8}\\\ \int \frac{x-1}{\left(x^{2}+2 x+3\right)^{2}} d x & \int \frac{d x}{x\left(x^{2}-x+1\right)^{2}}\\\ \int \frac{4 x^{4}}{x^{4}-x^{3}-6 x^{2}+4 x+8} d x & \int \frac{x^{2}}{3 x^{2}-\frac{1}{2} x-\frac{1}{2}} d x\\\ \int \frac{d x}{x^{3}+9 x} & \int \frac{d x}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)}\\\ \int \frac{x^{3}+x^{2}+2 x+1}{x^{3}-1} d x & \int \frac{x^{3} d x}{\left(x^{2}+2\right)^{2}}\\\ \int \frac{d x}{x^{4}-3 x^{3}+3 x^{2}-x} & \int \frac{x d x}{(x-1)^{2}(x+1)^{2}}\\\\ 2-\text { Mostre que } \int \frac{d u}{a^{2}-u^{2}}=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{u+a}{u-a}\right|+C &\\\ \end{array}

Passo 1

Você me pediu para calcular várias integrais indefinidas (uma lista de integrais) e provar uma identidade de integral. Vou listar claramente o que é pedido, na ordem em que aparecem (cada integrand é uma informação relevante do enunciado):
  1. \displaystyle \int \frac{2 x^{3}}{x^{2}+x}\,dx
  2. \displaystyle \int \frac{2 x+1}{2 x^{2}+3 x-2}\,dx
  3. \displaystyle \int \frac{x-1}{x^{3}+x^{2}-4 x-4}\,dx
  4. \displaystyle \int \frac{3 x^{2}}{2 x^{3}-x^{2}-2 x+1}\,dx
  5. \displaystyle \int \frac{x^{2}+5 x+4}{x^{2}-2 x+1}\,dx
  6. \displaystyle \int \frac{x-1}{(x-2)^{2}(x-3)^{2}}\,dx
  7. \displaystyle \int \frac{x^{2}+1}{x^{4}-7 x^{3}+18 x^{2}-20 x+8}\,dx
  8. \displaystyle \int \frac{d x}{x^{3}-4 x^{2}}
  9. \displaystyle \int \frac{x^{3}+2 x^{2}+4}{2 x^{2}+2}\,dx
  10. \displaystyle \int \frac{5\,dx}{x^{3}+4 x}
  11. \displaystyle \int \frac{3 x-1}{x^{2}-x+1}\,dx
  12. \displaystyle \int \frac{d x}{x^{3}+8}
  13. \displaystyle \int \frac{x-1}{\left(x^{2}+2 x+3\right)^{2}}\,dx
  14. \displaystyle \int \frac{d x}{x\left(x^{2}-x+1\right)^{2}}
  15. \displaystyle \int \frac{4 x^{4}}{x^{4}-x^{3}-6 x^{2}+4 x+8}\,dx
  16. \displaystyle \int \frac{x^{2}}{3 x^{2}-\tfrac{1}{2} x-\tfrac{1}{2}}\,dx
  17. \displaystyle \int \frac{d x}{x^{3}+9 x}
  18. \displaystyle \int \frac{d x}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)}
  19. \displaystyle \int \frac{x^{3}+x^{2}+2 x+1}{x^{3}-1}\,dx
  20. \displaystyle \int \frac{x^{3}\,dx}{\left(x^{2}+2\right)^{2}}
  21. \displaystyle \int \frac{d x}{x^{4}-3 x^{3}+3 x^{2}-x}
  22. \displaystyle \int \frac{x\,dx}{(x-1)^{2}(x+1)^{2}}
  23. Mostrar que \displaystyle \int \frac{d u}{a^{2}-u^{2}}=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{u+a}{u-a}\right|+C.
Essas são todas as perguntas e as fórmulas dadas. Agora vou resolver cada integral passo a passo, explicando os métodos usados (divisão de polinômios, frações parciais, substituições, completar quadrado, integrais de funções racionais e integrais trigonométricas inversas), e mostrando os detalhes necessários para você reproduzir na prova.

Passo 2

  1. \displaystyle \int \frac{2 x^{3}}{x^{2}+x}\,dx.
  • Observação: o denominador fatora como x(x+1). Podemos simplificar antes de decompor: \displaystyle \frac{2x^{3}}{x^{2}+x}=\frac{2x^{3}}{x(x+1)}=\frac{2x^{2}}{x+1}.
  • Fazer divisão polinomial: \displaystyle \frac{2x^{2}}{x+1}=2x-2+\frac{2}{x+1} (verifique multiplicando).
  • Integrando termo a termo: \int 2x\,dx = x^{2}, \int -2\,dx = -2x, \int \frac{2}{x+1}\,dx = 2\ln|x+1|.
  • Resultado: \displaystyle x^{2}-2x+2\ln|x+1|+C.

Passo 3

  1. \displaystyle \int \frac{2 x+1}{2 x^{2}+3 x-2}\,dx.
  • Fatora o denominador: 2x^{2}+3x-2=(2x-1)(x+2).
  • Fazemos frações parciais: procurar A,B tais que \dfrac{2x+1}{(2x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{2x-1}+\dfrac{B}{x+2}.
  • Multiplicando: 2x+1 = A(x+2) + B(2x-1). Substituir raízes: x=\tfrac{1}{2}\Rightarrow A=\tfrac{4}{5}. x=-2\Rightarrow B=\tfrac{3}{5}.
  • Integrando: \displaystyle \frac{4}{5}\int\frac{dx}{2x-1}+\frac{3}{5}\int\frac{dx}{x+2} = \frac{2}{5}\ln|2x-1|+\frac{3}{5}\ln|x+2|+C.

Passo 4

  1. \displaystyle \int \frac{x-1}{x^{3}+x^{2}-4x-4}\,dx.
  • Fatoramos o denominador por agrupamento: x^{3}+x^{2}-4x-4=(x^{2}-4)(x+1)=(x-2)(x+2)(x+1).
  • Frações parciais: \dfrac{x-1}{(x+1)(x-2)(x+2)}=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x-2}+\dfrac{C}{x+2}.
  • Encontrando A,B,C por substituição: x=-1\Rightarrow A=\tfrac{2}{3}. x=2\Rightarrow B=\tfrac{1}{12}. x=-2\Rightarrow C=-\tfrac{3}{4}.
  • Integrando: \displaystyle \frac{2}{3}\ln|x+1|+\frac{1}{12}\ln|x-2|-\frac{3}{4}\ln|x+2|+C.

Passo 5

  1. \displaystyle \int \frac{3 x^{2}}{2 x^{3}-x^{2}-2 x+1}\,dx.
  • Observe fatoração: 2x^{3}-x^{2}-2x+1=(2x-1)(x^{2}-1)=(2x-1)(x-1)(x+1).
  • Fazemos frações parciais do tipo \dfrac{3x^2}{(2x-1)(x-1)(x+1)}=\dfrac{A}{2x-1}+\dfrac{B}{x-1}+\dfrac{C}{x+1}.
  • Substituindo: x=\tfrac{1}{2}\Rightarrow A=-1. x=1\Rightarrow B=\tfrac{3}{2}. x=-1\Rightarrow C=\tfrac{1}{2}.
  • Integrando cada termo: -\tfrac{1}{2}\ln|2x-1|+\tfrac{3}{2}\ln|x-1|+\tfrac{1}{2}\ln|x+1|+C.

Passo 6

  1. \displaystyle \int \frac{x^{2}+5 x+4}{x^{2}-2 x+1}\,dx.
  • Denominador (x-1)^{2}. Faz divisão de polinômios: \dfrac{x^{2}+5x+4}{(x-1)^{2}}=1+\dfrac{7x+3}{(x-1)^{2}}.
  • Decompor \dfrac{7x+3}{(x-1)^{2}}=\dfrac{7}{x-1}+\dfrac{10}{(x-1)^{2}} (determinação por comparação).
  • Integrando: x + 7\ln|x-1| - \dfrac{10}{x-1} + C (pois \int (x-1)^{-2}dx = -(x-1)^{-1}).

Passo 7

  1. \displaystyle \int \frac{x-1}{(x-2)^{2}(x-3)^{2}}\,dx.
  • Decomposição com fatores repetidos: \dfrac{x-1}{(x-2)^{2}(x-3)^{2}}=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{(x-2)^{2}}+\dfrac{C}{x-3}+\dfrac{D}{(x-3)^{2}}.
  • Encontrando constantes por avaliação e comparação: B=1,\\ D=2,\\ A=3,\\ C=-3.
  • Integrando termo a termo:
    \displaystyle 3\ln|x-2|-\frac{1}{x-2}-3\ln|x-3|-\frac{2}{x-3}+C.

Passo 8

  1. \displaystyle \int \frac{x^{2}+1}{x^{4}-7 x^{3}+18 x^{2}-20 x+8}\,dx.
  • Observação de fatoração (avaliando raízes): o denominador é (x-1)(x-2)^{3} (verificar por divisão).
  • Escrevemos frações parciais com polo simples em x=1 e pólos repetidos em x=2:
    \dfrac{x^{2}+1}{(x-1)(x-2)^{3}}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x-2}+\dfrac{C}{(x-2)^{2}}+\dfrac{D}{(x-2)^{3}}.
  • Resolvendo por substituições e comparação obtemos A=-2,\\ B=2,\\ C=-1,\\ D=5.
  • Integração termo a termo resulta em:
    \displaystyle -2\ln|x-1|+2\ln|x-2|+\frac{1}{x-2}-\frac{5}{2(x-2)^{2}}+C.

Passo 9

  1. \displaystyle \int \frac{d x}{x^{3}-4 x^{2}}\,.
  • Fatora: x^{3}-4x^{2}=x^{2}(x-4).
  • Frações parciais com 1/(x^{2}(x-4))=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^{2}}+\dfrac{C}{x-4}.
  • Resolvendo: A=-\tfrac{1}{16},\\ B=-\tfrac{1}{4},\\ C=\tfrac{1}{16}.
  • Integrando:
    \displaystyle -\frac{1}{16}\ln|x|+\frac{1}{4x}+\frac{1}{16}\ln|x-4|+C.
  • Pode ser escrito também como \displaystyle \frac{1}{16}\ln\left|\frac{x-4}{x}\right|+\frac{1}{4x}+C.

Passo 10

  1. \displaystyle \int \frac{x^{3}+2 x^{2}+4}{2 x^{2}+2}\,dx.
  • Simplificar: 2x^{2}+2=2(x^{2}+1). Faça divisão algébrica: \dfrac{x^{3}+2x^{2}+4}{x^{2}+1}=x+2+\dfrac{-x+2}{x^{2}+1}.
  • Então integral é \tfrac{1}{2}\int\left(x+2+\frac{-x+2}{x^{2}+1}\right)dx.
  • Calcular cada parte:
    • \tfrac{1}{2}\int x\,dx = \tfrac{x^{2}}{4}.
    • \tfrac{1}{2}\int 2\,dx = x.
    • \tfrac{1}{2}\int \frac{-x}{x^{2}+1}\,dx = -\tfrac{1}{4}\ln(x^{2}+1) (substituição u=x^{2}+1).
    • \tfrac{1}{2}\int \frac{2}{x^{2}+1}\,dx = \arctan x.
  • Resultado:
    \displaystyle \frac{x^{2}}{4}+x-\frac{1}{4}\ln\!\left(x^{2}+1\right)+\arctan x + C.

Passo 11

  1. \displaystyle \int \frac{5\,dx}{x^{3}+4 x}.
  • Factor: x^{3}+4x = x(x^{2}+4).
  • Frações parciais: \dfrac{1}{x(x^{2}+4)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{Bx+C}{x^{2}+4}. Resolve-se com A=\tfrac{1}{4},\\ B=-\tfrac{1}{4},\\ C=0.
  • Assim integral: 5\left(\tfrac{1}{4}\ln|x| -\tfrac{1}{4}\int\frac{x}{x^{2}+4}dx\right).
  • \int\frac{x}{x^{2}+4}dx=\tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+4).
  • Resultado:
    \displaystyle \frac{5}{4}\ln|x|-\frac{5}{8}\ln\!\left(x^{2}+4\right)+C.

Passo 12

  1. \displaystyle \int \frac{3 x-1}{x^{2}-x+1}\,dx.
  • Note que a derivada do denominador é 2x-1. Escrevemos o numerador como combinação: 3x-1=\tfrac{3}{2}(2x-1)+\tfrac{1}{2}.
  • Então integral = \tfrac{3}{2}\int \dfrac{2x-1}{x^{2}-x+1}dx + \tfrac{1}{2}\int \dfrac{dx}{x^{2}-x+1}.
  • A primeira parte dá \tfrac{3}{2}\ln(x^{2}-x+1).
  • Para a segunda, completar quadrado: x^{2}-x+1=(x-\tfrac{1}{2})^{2}+\tfrac{3}{4}. Assim
    \int \dfrac{dx}{(x-\tfrac{1}{2})^{2}+(\tfrac{\sqrt{3}}{2})^{2}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\dfrac{2x-1}{\sqrt{3}}\right).
  • Multiplicando pela \tfrac{1}{2} obtemos \dfrac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\dfrac{2x-1}{\sqrt{3}}\right).
  • Resultado:
    \displaystyle \frac{3}{2}\ln\!\left(x^{2}-x+1\right)+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+C.

Passo 13

  1. \displaystyle \int \frac{d x}{x^{3}+8}.
  • Usar fatoração soma de cubos: x^{3}+8=(x+2)(x^{2}-2x+4).
  • Frações parciais: \dfrac{1}{(x+2)(x^{2}-2x+4)}=\dfrac{A}{x+2}+\dfrac{Bx+C}{x^{2}-2x+4}. Resolvem-se obtendo A=\tfrac{1}{12},\\ B=-\tfrac{1}{12},\\ C=\tfrac{1}{3}.
  • Integração: a parte com Bx+C se decompõe em \tfrac{B}{2}\ln(x^{2}-2x+4) e um termo do tipo \arctan após completar o quadrado.
  • Seguindo os cálculos:
    \displaystyle \frac{1}{12}\ln|x+2|-\frac{1}{24}\ln(x^{2}-2x+4)+\frac{1}{4\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{x-1}{\sqrt{3}}\right)+C.

Passo 14

  1. \displaystyle \int \frac{x-1}{(x^{2}+2 x+3)^{2}}\,dx.
  • Notar que x^{2}+2x+3=(x+1)^{2}+2. Faça a substituição t=x+1. Então integral vira \int \dfrac{t-2}{(t^{2}+2)^{2}}\,dt.
  • Separe \int \dfrac{t}{(t^{2}+2)^{2}}dt - 2\int \dfrac{dt}{(t^{2}+2)^{2}}.
  • A primeira parte: com u=t^{2}+2 -\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{t^{2}+2}.
  • A segunda parte usa a fórmula padrão \displaystyle \int \frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{2}} = \frac{x}{2a^{2}(x^{2}+a^{2})} + \frac{1}{2a^{3}}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right).
  • Aplicando a=\sqrt{2} e recombinando, chega-se ao resultado (substituindo t=x+1):
    \displaystyle -\frac{x+2}{2\left((x+1)^{2}+2\right)}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)+C.

Passo 15

  1. \displaystyle \int \frac{d x}{x\left(x^{2}-x+1\right)^{2}}.
  • Fazemos decomposição em frações parciais para termos simples e termos com o quadrado:
    \dfrac{1}{xP^{2}}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{Bx+C}{P}+\dfrac{Dx+E}{P^{2}}, onde P=x^{2}-x+1.
  • Resolvem-se os coeficientes por comparação (ou substituindo valores): obtemos A=1,\\ B=-1,\\ C=1,\\ D=-1,\\ E=1. Assim
    \displaystyle \frac{1}{xP^{2}}=\frac{1}{x}+\frac{-x+1}{P}+\frac{-x+1}{P^{2}}.
  • Integrar é proceder por escrever -x+1 em termos de P' e um restante constante: -x+1=-\tfrac{1}{2}P'+\tfrac{1}{2}.
  • Após calcular \int \dfrac{dx}{P} (arctan) e \int \dfrac{dx}{P^{2}} (fórmula do tipo \int (u^{2}+a^{2})^{-2}) e combinar termos, obtemos, com P=x^{2}-x+1,
    \displaystyle \ln|x|-\frac{1}{2}\ln P +\frac{x+1}{3P}+\frac{5}{3\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+C.

Passo 16

  1. \displaystyle \int \frac{4 x^{4}}{x^{4}-x^{3}-6 x^{2}+4 x+8}\,dx.
  • O denominador fatora em (x-2)^{2}(x+1)(x+2) (verificando x=2 é raiz dupla, e os outros fatores).
  • Fazemos frações parciais do tipo \dfrac{4x^{4}}{(x-2)^{2}(x+1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{(x-2)^{2}}+\dfrac{C}{x+1}+\dfrac{D}{x+2}.
  • Encontrando constantes por avaliação: A=-\tfrac{4}{9},\\ B=\tfrac{16}{3},\\ C=\tfrac{4}{9},\\ D=-4.
  • Integrando cada termo:
    \displaystyle -\frac{4}{9}\ln|x-2|-\frac{16}{3}\cdot\frac{1}{x-2}+\frac{4}{9}\ln|x+1|-4\ln|x+2|+C.

Passo 17

  1. \displaystyle \int \frac{x^{2}}{3 x^{2}-\tfrac{1}{2} x-\tfrac{1}{2}}\,dx.
  • Fazemos divisão: \dfrac{x^{2}}{3x^{2}-\tfrac{1}{2}x-\tfrac{1}{2}}=\tfrac{1}{3}+\dfrac{\tfrac{1}{6}x+\tfrac{1}{6}}{3x^{2}-\tfrac{1}{2}x-\tfrac{1}{2}}.
  • Simplificar dando um fator comum no denominador: convém escrever a parte fracionária como \dfrac{1}{3}\int \dfrac{x+1}{6x^{2}-x-1}dx.
  • Note que 6x^{2}-x-1=6\left(x-\tfrac{1}{2}\right)\left(x+\tfrac{1}{3}\right), discriminante 25 (raízes racionais x=\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{3}).
  • Escrevendo a parte fracionária como combinação da derivada do denominador e uma parte que dá logaritmos, obtemos
    \displaystyle \frac{x}{3}+\frac{1}{36}\ln|6x^{2}-x-1|+\frac{13}{30}\ln\left|\frac{x-\tfrac{1}{2}}{x+\tfrac{1}{3}}\right|+C.

Passo 18

  1. \displaystyle \int \frac{d x}{x^{3}+9 x}.
  • Factor: x^{3}+9x=x(x^{2}+9).
  • Frações parciais: \dfrac{1}{x(x^{2}+9)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{Bx+C}{x^{2}+9}. Resolvem-se os coeficientes e obtém-se A=\tfrac{1}{9},\\ B=-\tfrac{1}{9},\\ C=0.
  • Integrando:
    \displaystyle \frac{1}{9}\ln|x|-\frac{1}{18}\ln(x^{2}+9)+C.

Passo 19

  1. \displaystyle \int \frac{d x}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)}.
  • Frações parciais sobre quadráticos: \dfrac{1}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)}=\dfrac{A}{x^{2}+1}+\dfrac{B}{x^{2}+4}.
  • Resolve-se A=\tfrac{1}{3},\\ B=-\tfrac{1}{3}.
  • Integrando:
    \displaystyle \frac{1}{3}\arctan x -\frac{1}{6}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)+C.

Passo 20

  1. \displaystyle \int \frac{x^{3}+x^{2}+2 x+1}{x^{3}-1}\,dx.
  • Faz divisão: \dfrac{x^{3}+x^{2}+2x+1}{x^{3}-1}=1+\dfrac{x^{2}+2x+2}{x^{3}-1}.
  • Fator: x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1). Fazemos frações parciais:
    \dfrac{x^{2}+2x+2}{(x-1)(x^{2}+x+1)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{Bx+C}{x^{2}+x+1}.
  • Encontrando A=\tfrac{5}{3},\\ B=-\tfrac{2}{3},\\ C=-\tfrac{1}{3}.
  • Observação: \dfrac{Bx+C}{x^{2}+x+1}=-\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2x+1}{x^{2}+x+1}, cuja integral é -\tfrac{1}{3}\ln(x^{2}+x+1).
  • Resultado final:
    \displaystyle x+\frac{5}{3}\ln|x-1|-\frac{1}{3}\ln(x^{2}+x+1)+C.

Passo 21

  1. \displaystyle \int \frac{x^{3}}{(x^{2}+2)^{2}}\,dx.
  • Substituição u=x^{2}+2\Rightarrow du=2x\,dx. Escreva x^{3}dx = x^{2}\cdot x\,dx=(u-2)\cdot \tfrac{du}{2}.
  • Integral fica \tfrac{1}{2}\int\left(\frac{1}{u}-\frac{2}{u^{2}}\right)du.
  • Integrando: \tfrac{1}{2}(\ln u + \tfrac{2}{u}) + C.
  • Substituindo u: \displaystyle \frac{1}{2}\ln(x^{2}+2)+\frac{1}{x^{2}+2}+C.

Passo 22

  1. \displaystyle \int \frac{d x}{x^{4}-3 x^{3}+3 x^{2}-x}.
  • Observe fatoração: x^{4}-3x^{3}+3x^{2}-x = x(x-1)^{3}.
  • Decompondo: \dfrac{1}{x(x-1)^{3}}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-1}+\dfrac{C}{(x-1)^{2}}+\dfrac{D}{(x-1)^{3}}.
  • Resolvendo coeficientes por comparação: A=-1,\\ B=1,\\ C=-1,\\ D=1.
  • Integrando:
    \displaystyle -\ln|x|+\ln|x-1|+\frac{1}{x-1}-\frac{1}{2(x-1)^{2}}+C.

Passo 23

  1. \displaystyle \int \frac{x\,dx}{(x-1)^{2}(x+1)^{2}}.
  • Decomponha em frações parciais com termos repetidos:
    \dfrac{x}{(x-1)^{2}(x+1)^{2}}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{(x-1)^{2}}+\dfrac{C}{x+1}+\dfrac{D}{(x+1)^{2}}.
  • Determinando coeficientes por avaliação e comparação encontram-se A=0,\\ B=\tfrac{1}{4},\\ C=0,\\ D=-\tfrac{1}{4}.
  • Integrando:
    \displaystyle -\frac{1}{4(x-1)}+\frac{1}{4(x+1)}+C, que também pode ser escrito como \displaystyle \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}\right)+C.

Passo 24

  1. Prova: \displaystyle \int \frac{du}{a^{2}-u^{2}}=\frac{1}{2 a}\ln\left|\frac{u+a}{u-a}\right|+C.
  • Fatoramos o denominador: a^{2}-u^{2}=(a-u)(a+u).
  • Fazemos frações parciais: \dfrac{1}{a^{2}-u^{2}}=\dfrac{1}{2a}\left(\dfrac{1}{a-u}+\dfrac{1}{a+u}\right). (Basta escrever \dfrac{1}{(a-u)(a+u)}=\dfrac{A}{a-u}+\dfrac{B}{a+u} e resolver A=B=\tfrac{1}{2a}.)
  • Integrando: \dfrac{1}{2a}\left(-\ln|a-u|+\ln|a+u|\right)+C=\dfrac{1}{2a}\ln\left|\frac{a+u}{a-u}\right|+C.
  • Reescrevendo \dfrac{a+u}{a-u}=\dfrac{u+a}{u-a} (logaritmo absoluto difere por sinal que entra como constante), obtemos a forma pedida:
    \displaystyle \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{u+a}{u-a}\right|+C.

Resposta

\displaystyle x^{2}-2x+2\ln|x+1|+C
\displaystyle \frac{2}{5}\ln|2x-1|+\frac{3}{5}\ln|x+2|+C
\displaystyle \frac{2}{3}\ln|x+1|+\frac{1}{12}\ln|x-2|-\frac{3}{4}\ln|x+2|+C
\displaystyle -\frac{1}{2}\ln|2x-1|+\frac{3}{2}\ln|x-1|+\frac{1}{2}\ln|x+1|+C
\displaystyle x+7\ln|x-1|-\frac{10}{x-1}+C
\displaystyle 3\ln|x-2|-\frac{1}{x-2}-3\ln|x-3|-\frac{2}{x-3}+C
\displaystyle -2\ln|x-1|+2\ln|x-2|+\frac{1}{x-2}-\frac{5}{2(x-2)^{2}}+C
\displaystyle \frac{1}{16}\ln\left|\frac{x-4}{x}\right|+\frac{1}{4x}+C
\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+x-\frac{1}{4}\ln\!\left(x^{2}+1\right)+\arctan x + C
\displaystyle \frac{5}{4}\ln|x|-\frac{5}{8}\ln\!\left(x^{2}+4\right)+C
\displaystyle \frac{3}{2}\ln\!\left(x^{2}-x+1\right)+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+C
\displaystyle \frac{1}{12}\ln|x+2|-\frac{1}{24}\ln(x^{2}-2x+4)+\frac{1}{4\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{x-1}{\sqrt{3}}\right)+C
\displaystyle -\frac{x+2}{2\left((x+1)^{2}+2\right)}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)+C
\displaystyle \ln|x|-\frac{1}{2}\ln\!\left(x^{2}-x+1\right)+\frac{x+1}{3\left(x^{2}-x+1\right)}+\frac{5}{3\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+C
\displaystyle -\frac{4}{9}\ln|x-2|-\frac{16}{3}\cdot\frac{1}{x-2}+\frac{4}{9}\ln|x+1|-4\ln|x+2|+C
\displaystyle \frac{x}{3}+\frac{1}{36}\ln|6x^{2}-x-1|+\frac{13}{30}\ln\left|\frac{x-\tfrac{1}{2}}{x+\tfrac{1}{3}}\right|+C
\displaystyle \frac{1}{9}\ln|x|-\frac{1}{18}\ln(x^{2}+9)+C
\displaystyle \frac{1}{3}\arctan x-\frac{1}{6}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)+C
\displaystyle x+\frac{5}{3}\ln|x-1|-\frac{1}{3}\ln(x^{2}+x+1)+C
\displaystyle \frac{1}{2}\ln(x^{2}+2)+\frac{1}{x^{2}+2}+C
\displaystyle -\ln|x|+\ln|x-1|+\frac{1}{x-1}-\frac{1}{2(x-1)^{2}}+C
\displaystyle \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}\right)+C
\displaystyle \int \frac{du}{a^{2}-u^{2}}=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{u+a}{u-a}\right|+C

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