Calcule a integral indefinida:
1-
1-
Passo 1
Você me pediu para calcular várias integrais indefinidas (uma lista de integrais) e provar uma identidade de integral. Vou listar claramente o que é pedido, na ordem em que aparecem (cada integrand é uma informação relevante do enunciado):
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Mostrar que
.
Essas são todas as perguntas e as fórmulas dadas. Agora vou resolver cada integral passo a passo, explicando os métodos usados (divisão de polinômios, frações parciais, substituições, completar quadrado, integrais de funções racionais e integrais trigonométricas inversas), e mostrando os detalhes necessários para você reproduzir na prova.
Passo 2
-
.
- Observação: o denominador fatora como
. Podemos simplificar antes de decompor: . - Fazer divisão polinomial:
(verifique multiplicando). - Integrando termo a termo:
, , . - Resultado:
.
Passo 3
-
.
- Fatora o denominador:
. - Fazemos frações parciais: procurar
tais que . - Multiplicando:
. Substituir raízes: . . - Integrando:
Passo 4
-
.
- Fatoramos o denominador por agrupamento:
. - Frações parciais:
. - Encontrando
por substituição: . . . - Integrando:
Passo 5
-
.
- Observe fatoração:
. - Fazemos frações parciais do tipo
. - Substituindo:
. . . - Integrando cada termo:
Passo 6
-
.
- Denominador
. Faz divisão de polinômios: . - Decompor
(determinação por comparação). - Integrando:
(pois ).
Passo 7
-
.
- Decomposição com fatores repetidos:
. - Encontrando constantes por avaliação e comparação:
. - Integrando termo a termo:
Passo 8
-
.
- Observação de fatoração (avaliando raízes): o denominador é
(verificar por divisão). - Escrevemos frações parciais com polo simples em
e pólos repetidos em :
. - Resolvendo por substituições e comparação obtemos
. - Integração termo a termo resulta em:
Passo 9
- Fatora:
. - Frações parciais com
. - Resolvendo:
. - Integrando:
. - Pode ser escrito também como
Passo 10
-
.
- Simplificar:
. Faça divisão algébrica: . - Então integral é
. - Calcular cada parte:
-
. -
. -
(substituição ). -
.
-
- Resultado:
Passo 11
-
.
- Factor:
. - Frações parciais:
. Resolve-se com . - Assim integral:
. -
. - Resultado:
Passo 12
-
.
- Note que a derivada do denominador é
. Escrevemos o numerador como combinação: . - Então integral =
. - A primeira parte dá
. - Para a segunda, completar quadrado:
. Assim
. - Multiplicando pela
obtemos . - Resultado:
Passo 13
-
.
- Usar fatoração soma de cubos:
. - Frações parciais:
. Resolvem-se obtendo . - Integração: a parte com
se decompõe em e um termo do tipo após completar o quadrado. - Seguindo os cálculos:
Passo 14
-
.
- Notar que
. Faça a substituição . Então integral vira . - Separe
. - A primeira parte: com
dá . - A segunda parte usa a fórmula padrão
. - Aplicando
e recombinando, chega-se ao resultado (substituindo ):
Passo 15
-
.
- Fazemos decomposição em frações parciais para termos simples e termos com o quadrado:
, onde . - Resolvem-se os coeficientes por comparação (ou substituindo valores): obtemos
. Assim
. - Integrar é proceder por escrever
em termos de e um restante constante: . - Após calcular
(arctan) e (fórmula do tipo ) e combinar termos, obtemos, com ,
Passo 16
-
.
- O denominador fatora em
(verificando é raiz dupla, e os outros fatores). - Fazemos frações parciais do tipo
. - Encontrando constantes por avaliação:
. - Integrando cada termo:
Passo 17
-
.
- Fazemos divisão:
. - Simplificar dando um fator comum no denominador: convém escrever a parte fracionária como
. - Note que
, discriminante (raízes racionais ). - Escrevendo a parte fracionária como combinação da derivada do denominador e uma parte que dá logaritmos, obtemos
Passo 18
-
.
- Factor:
. - Frações parciais:
. Resolvem-se os coeficientes e obtém-se . - Integrando:
Passo 19
-
.
- Frações parciais sobre quadráticos:
. - Resolve-se
. - Integrando:
Passo 20
-
.
- Faz divisão:
. - Fator:
. Fazemos frações parciais:
. - Encontrando
. - Observação:
, cuja integral é . - Resultado final:
Passo 21
-
.
- Substituição
. Escreva . - Integral fica
. - Integrando:
. - Substituindo
:
Passo 22
-
.
- Observe fatoração:
. - Decompondo:
. - Resolvendo coeficientes por comparação:
. - Integrando:
Passo 23
-
.
- Decomponha em frações parciais com termos repetidos:
. - Determinando coeficientes por avaliação e comparação encontram-se
. - Integrando:
, que também pode ser escrito como
Passo 24
- Prova:
.
- Fatoramos o denominador:
. - Fazemos frações parciais:
. (Basta escrever e resolver .) - Integrando:
. - Reescrevendo
(logaritmo absoluto difere por sinal que entra como constante), obtemos a forma pedida: