Determine o produto vetorial entre os vetores \vec{A}=6 \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k} e \vec{B}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}, bem como o módulo desse produto.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular o produto vetorial entre os vetores \vec{A} e \vec{B} e, em seguida, o módulo (norma) desse produto. As informações dadas são:
\vec{A}=6\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}
\vec{B}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}
Portanto, precisamos encontrar \vec{A}\times\vec{B} e \left|\vec{A}\times\vec{B}\right|.

Passo 2

O que é o produto vetorial e como calculamos na prática? O produto vetorial \vec{A}\times\vec{B} é um vetor perpendicular a ambos \vec{A} e \vec{B}. Uma forma prática de calcular é usar o determinante formal com as componentes dos vetores nas linhas 2 e 3:
\vec{A}\times\vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\\ A_x & A_y & A_z \\\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}
Expandindo esse determinante pela primeira linha obtemos a fórmula componente a componente:
\vec{A}\times\vec{B} = \hat{i}\,(A_yB_z - A_zB_y) - \hat{j}\,(A_xB_z - A_zB_x) + \hat{k}\,(A_xB_y - A_yB_x).
Explicando cada parte: cada componente é a diferença do produto cruzado das componentes associadas; o sinal negativo no termo com \hat{j} aparece porque, ao expandir o determinante, o cofator associado a \hat{j} tem sinal negativo.

Passo 3

Agora identifique claramente as componentes dos vetores (tiradas do enunciado):
A_x = 6,\quad A_y = -2,\quad A_z = 3,
B_x = 2,\quad B_y = 3,\quad B_z = -1.

Passo 4

Calculemos cada componente usando a fórmula do Passo 2, passo a passo.
Componente na direção \hat{i}:
A_yB_z - A_zB_y = (-2)\cdot(-1) - 3\cdot 3.
Calcule os produtos:
(-2)\cdot(-1)=2,\qquad 3\cdot 3=9.
Subtraindo:
2 - 9 = -7.
Logo a componente \hat{i} vale -7.
Componente na direção \hat{j}:
A_xB_z - A_zB_x = 6\cdot(-1) - 3\cdot 2.
Calcule os produtos:
6\cdot(-1)=-6,\qquad 3\cdot2=6.
Subtraindo:
-6 - 6 = -12.
Lembre que o termo em \hat{j} carrega um sinal negativo na fórmula, então a contribuição final em \hat{j} é -(-12)=+12.
Componente na direção \hat{k}:
A_xB_y - A_yB_x = 6\cdot 3 - (-2)\cdot 2.
Calcule os produtos:
6\cdot3=18,\qquad (-2)\cdot2=-4.
Subtraindo (note o menos de A_y vira soma porque A_y é negativo):
18 - (-4) = 18 + 4 = 22.
Portanto o produto vetorial é
\vec{A}\times\vec{B} = -7\hat{i} + 12\hat{j} + 22\hat{k}.

Passo 5

Agora vamos calcular o módulo do vetor resultante. Para um vetor \vec{C} = C_x\hat{i}+C_y\hat{j}+C_z\hat{k}, o módulo é
\left|\vec{C}\right| = \sqrt{C_x^{2} + C_y^{2} + C_z^{2}}.
Aqui C_x=-7, C_y=12, C_z=22. Então
\left|\vec{A}\times\vec{B}\right| = \sqrt{(-7)^{2} + 12^{2} + 22^{2}}.
Calcule os quadrados:
(-7)^{2}=49,\quad 12^{2}=144,\quad 22^{2}=484.
Some-os:
49 + 144 + 484 = 677.
Logo
\left|\vec{A}\times\vec{B}\right| = \sqrt{677}.
Observação prática: 677 não é um quadrado perfeito; como 26^{2}=676, temos \sqrt{677} um pouco maior que 26. Uma aproximação numérica é \sqrt{677}\approx 26{,}02.

Passo 6

Como checagem de coerência — e para fixar o conceito — um produto vetorial deve ser perpendicular a ambos \vec{A} e \vec{B}. Verificamos isso calculando o produto escalar \vec{A}\cdot(\vec{A}\times\vec{B}) e \vec{B}\cdot(\vec{A}\times\vec{B}):
Calcule \vec{A}\cdot(\vec{A}\times\vec{B}):
6\cdot(-7) + (-2)\cdot 12 + 3\cdot 22 = -42 -24 +66 = 0.
Calcule \vec{B}\cdot(\vec{A}\times\vec{B}):
2\cdot(-7) + 3\cdot 12 + (-1)\cdot 22 = -14 +36 -22 = 0.
Ambos zeram, confirmando que \vec{A}\times\vec{B} é perpendicular a \vec{A} e a \vec{B}, como esperado.

Resposta

\vec{A}\times\vec{B} = -7\hat{i} + 12\hat{j} + 22\hat{k}\n \left|\vec{A}\times\vec{B}\right| = \sqrt{677} \approx 26{,}02

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