Usando o elemento de volume para um sistema de coordenadas esféricas, determine o volume de uma casca esférica de raio interno
e raio externo
.
Passo 1
O enunciado pede o volume de uma casca esférica (a região entre duas esferas concêntricas). As informações dadas são:
A pergunta é: qual o volume da região entre as duas esferas de raios acima?
Passo 2
Vamos usar coordenadas esféricas. Primeiro, o que são as coordenadas esféricas e o elemento de volume:
- Em coordenadas esféricas usamos as variáveis
, onde:
- O elemento de volume em coordenadas esféricas é
Explicando isso rapidamente:
vem do fator de escala radial (volume cresce com
), e
aparece porque as “faixas” de ângulo têm largura proporcional a
.
Passo 3
Agora escrevemos o integral triplo que dá o volume da casca esférica, integrando
sobre
entre
e
,
de
a
e
de
a
:
Passo 4
Fazemos as integrais em ordem: primeiro em
, depois em
e
. Como a função a integrar é produto de partes que dependem separadamente de
,
e
, podemos separar:
Avaliaremos cada uma:
- Integral radial:
logo (Aqui usamos a primitiva de : a regra geral é para .) - Integral em
: - Integral em
:
Multiplicando tudo:
Essa é a forma fechada conhecida: volume entre duas esferas =
.
Passo 5
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calculamos
. Usamos a expansão
com
e
:
Calcule termo a termo:
Somando:
Já
. Então a diferença é
Substituindo na fórmula:
Calculando numericamente:
(Aqui usei
.)
Passo 6
Pequeno cheque de consistência (útil na prova): para cascas finas podemos aproximar
com
perto do raio médio; usando
e
dá
, bem próximo do valor exato
. Isso confirma que nosso resultado tem a ordem de grandeza correta — ótimo para ficar seguro na prova!