Usando o elemento de volume para um sistema de coordenadas esféricas, determine o volume de uma casca esférica de raio interno 2,00 \mathrm{~m} e raio externo 2,02 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado pede o volume de uma casca esférica (a região entre duas esferas concêntricas). As informações dadas são:
r_{\text{in}}=2,00\\ \mathrm{m}
r_{\text{out}}=2,02\\ \mathrm{m}
A pergunta é: qual o volume da região entre as duas esferas de raios acima?

Passo 2

Vamos usar coordenadas esféricas. Primeiro, o que são as coordenadas esféricas e o elemento de volume:
  • Em coordenadas esféricas usamos as variáveis r,\theta,\varphi, onde: r=\text{distância do ponto à origem (raio)},âà
\theta=\text{ângulo polar (medido a partir do eixo \(z\)), }0\le\theta\le\pi,â
\varphi=\text{ângulo azimutal (no plano \(xy\)), }0\le\varphi<2\pi.â
  • O elemento de volume em coordenadas esféricas é dV = r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Explicando isso rapidamente: r^{2} vem do fator de escala radial (volume cresce com r^2), e \sin\theta aparece porque as “faixas” de ângulo têm largura proporcional a \sin\theta.

Passo 3

Agora escrevemos o integral triplo que dá o volume da casca esférica, integrando dV sobre r entre r_{\text{in}} e r_{\text{out}}, \theta de 0 a \pi e \varphi de 0 a 2\pi:
V=\int_{\varphi=0}^{2\pi}\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=r_{\text{in}}}^{r_{\text{out}}} r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.

Passo 4

Fazemos as integrais em ordem: primeiro em r, depois em \theta e \varphi. Como a função a integrar é produto de partes que dependem separadamente de r, \theta e \varphi, podemos separar:
V=\left(\int_{r_{\text{in}}}^{r_{\text{out}}} r^{2}\,dr\right)\left(\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{2\pi} d\varphi\right).
Avaliaremos cada uma:
  • Integral radial: \int r^{2}\,dr=\frac{r^{3}}{3},logo \int_{r_{\text{in}}}^{r_{\text{out}}} r^{2}\,dr=\frac{r_{\text{out}}^{3}-r_{\text{in}}^{3}}{3}.(Aqui usamos a primitiva de r^{2}: a regra geral é \int r^{n}\,dr=\dfrac{r^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.)
  • Integral em \theta: \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = [-\cos\theta]_{0}^{\pi} = -\cos\pi -(-\cos 0)= -(-1)-(-1)=2.
  • Integral em \varphi: \int_{0}^{2\pi} d\varphi = 2\pi.
Multiplicando tudo:
V = \frac{r_{\text{out}}^{3}-r_{\text{in}}^{3}}{3}\times 2\times 2\pi = \frac{4\pi}{3}\left(r_{\text{out}}^{3}-r_{\text{in}}^{3}\right).
Essa é a forma fechada conhecida: volume entre duas esferas = \dfrac{4\pi}{3}(r_{\text{out}}^{3}-r_{\text{in}}^{3}).

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calculamos r_{\text{out}}^{3}. Usamos a expansão (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} com a=2 e b=0,02:
2,02^{3}=2^{3}+3\cdot 2^{2}\cdot 0,02+3\cdot 2\cdot 0,02^{2}+0,02^{3}.
Calcule termo a termo:
2^{3}=8,
3\cdot 2^{2}\cdot 0,02 = 3\cdot 4\cdot 0,02 = 12\cdot 0,02 = 0,24,
3\cdot 2\cdot 0,02^{2} = 6\cdot 0,0004 = 0,0024,
0,02^{3}=0,000008.
Somando:
2,02^{3}=8+0,24+0,0024+0,000008=8,242408.
2,00^{3}=8,000. Então a diferença é
r_{\text{out}}^{3}-r_{\text{in}}^{3}=8,242408-8,000=0,242408.
Substituindo na fórmula:
V=\frac{4\pi}{3}\cdot 0,242408.
Calculando numericamente:
\frac{4}{3}\cdot 0,242408=0,323210666\ldots
V=0,323210666\ldots\times\pi \approx 1,01542\\ \mathrm{m}^{3}.
(Aqui usei \pi\approx 3,1415926536.)

Passo 6

Pequeno cheque de consistência (útil na prova): para cascas finas podemos aproximar V\approx 4\pi r^{2}\Delta r com r perto do raio médio; usando r\approx 2 e \Delta r=0,02 V\approx 4\pi(2)^{2}(0,02)=0,32\pi\approx 1,0053\\ \mathrm{m}^{3}, bem próximo do valor exato 1,0154\\ \mathrm{m}^{3}. Isso confirma que nosso resultado tem a ordem de grandeza correta — ótimo para ficar seguro na prova!

Resposta

1,0154\\ \mathrm{m}^{3}

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